山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数奇偶性 周期教案6页

山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数奇偶性周期教案教学内容学习指导即使感悟【学习目标】1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。会判断函数的奇偶性。能利用函数的奇偶性解决有关问题。2、结合具体函数，了解函数周期性的含义。会判断函数的周期。能利用函数的周期性解决有关问题。【学习重点】奇偶性的含义，用函数的性质解决有关问题【学习难点】奇偶性的含义，用函数的性质解决有关问题【回顾知识】奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内x都有，那么函数f(x)是偶函数.关于对称奇函数如果函数f(x)的定义域内x都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称一、函数的奇偶性1、定义及图象特点2、判断函数的奇偶性的步骤(1)判断函数的定义域是否关于原点对称(若是执行(2)，若否为非奇非偶)(2)判断f(－x)与f(x)间的关系(相等为偶函数，相反为奇函数)．3、结论：(1)定义域含零的奇函数有f(0)＝0(可用于求参数)；若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性．(2)奇函数在对称的两个单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的两个单调区间内有相反的单调性．二、函数的对称性如果函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)的图象关于直线对称。一般的，若f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的对称轴方程是。三、函数的周期性1、函数的周期性的定义：设函数y=f(x),x∈D，若存在非零常数T，使得对任意的x∈D都有，则函数f(x)为周期函数，T为y=f(x)的一个周期.2、几个结论(1)f(x+a)=-f(x)T=回顾知识6 (2)f(x+a)=T=(3)f(x+a)=T=二、基础自测：1、已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　B　)A．B．C．D．2、已知f(x)＝是奇函数，则实a的值等于(　A　)A．1B．－1C．0D．±13、(2009年陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞](x1≠x2)，有＜0，则(　A　)A．f(3)＜f(－2)＜f(1)B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(－2)4、已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x取值范围是(　A　)A.B.C.D.5、f(x)是R上的奇函数,,当时,f(x)=x,则f(7.5)=-0.5.【自主合作探究】专题引入：函数的奇偶性和周期性是函数最重要的性质，是高考的热点，它与函数的其他性质有着密不可分的联系，在解决函数的图象和性质等问题过程中起着举足轻重的作用．探究、例1：判断下列函数的奇偶性：6 （4）f(x)=解析：（1）偶函数（2）既是奇函数又是偶函数（3）奇函数（4）偶函数且在闭区间[0，7]上，只有(Ⅰ）试判断函数的周期性；(Ⅱ）试求方程在闭区间[－20，20]上的根的个数，并证明你的结论.解：易知，对任意实数x∈R,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).∴f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f[10+(4-x)].∴f(x+10)=f(x).即函数f(x)在R上是以10为周期的周期函数。【1】由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知，f(-3)=f(7)。①若f(-3)=f(3)=0.则f(7)=0.这与题设“在[1,7]上仅有f(1)=f(3)=0”矛盾。∴f(-3)≠f(3).②若f(-3)+f(3)=0.同样有f(7)=0.矛盾。∴f(3)+f(-3)≠0.综上可知，在R上，函数f(x)非奇非偶。【2】【2】①由f(10+x)=f(x)及题设“在[0,7]上，仅有f(1)=f(3)=0“可知，f[1+10k]=f[3+10m]=0.(k,m∈Z).由此可得-2008≤1+10k≤2008,且-2008≤3+10m≤2008.===>-200.9≤k≤200.7且-201.1≤m≤200.5===>k=-200,-199,-198,....199,200.计401个。m=-201,-200,-199,....198,199,200.计402个。∴满足题设的解共有803个。6 例3、函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，f＝.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解析：f（x）=(ax+b)/(x^2+1)是奇函数，f(-x)=-f(x)(-ax+b)/(x^2+1)=-(ax+b)/(x^2+1),-ax+b=-ax-b,b=-b,所以b=0.又f(1/2)=2/5，所以(a/2)/(1/4+1)=2/5,a=1.∴f(x)=x/(x^2+1).(2)设任意-10x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)=x1+x1x2^2-x2-x2x1^2=x1x2(x2-x1)+(x1-x2)=(x2-x1)(x1x2-1)(x2-x1)>0(x1x2-1)<0所以：f(x1)-f(x2)<0f(x1)1时a^x是增函数，a^(-x)递减，因此-a^(-x)递增,二增函数在其公共定义域上的和是增函数，a/(a^2-1)>0，6 f(x)都是增函数。【拓展﹒延伸】1、函数的图象关于(D)A.轴成轴对称图形B.轴成轴对称图形C.直线轴成轴对称图形D.原点成中心对称2、奇函数的定义域为,若当时,的图象如下图,则不等式的解是.3、设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线对称,已知时,函数f(x)=,则时,f(x)=-x2-8x-154、(2008年湖北卷)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于____-2____．6