四川省达州市大竹县文星中学2015届高三数学上学期期末考试试题 理10页

四川省达州市大竹县文星中学2015届高三上学期期末考试数学（理）试题考试时间：120分钟；满分150分第I卷（选择题）一、选择题：共12题每题5分共60分1．若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B=A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}2．函数y＝sin(x＋θ)·cos(x＋θ)在x＝2时取最大值，则θ的一个值是(　　)A．B．C．D．3．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i4．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　)A．f(k)＋k－1　B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－25．已知a>0，b>0，a、b的等差中项为，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为(　　)A．3B．4C．5D．66．若m，n是正整数，则m＋n>mn成立的充要条件是(　　)A．m，n都等于1B．m，n都不等于2C．m，n都大于1D．m，n至少有一个等于17.函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是(　　)A.B．－1C．0D．18．某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为-10- A.πB.πC.4πD.16π9．阅读下面的程序框图,输出的结果是A.9B.10C.11D.1210．已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.1B.C.D.11．如果实数x,y满足不等式组目标函数z=kx+y的最大值为12,最小值为3,那么实数k的值为A.2B.-2C.1D.-112．已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-∞,0)-10- 第II卷（非选择题）二、填空题：共4题每题5分共20分13.随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.14．观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.15.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3.图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.下列说法中正确命题的序号是.(填出所有正确命题的序号)①方程的解是；②；③是奇函数；④在定义域上单调递增；⑤的图象关于点对称．16．对于定义域在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若函数f(x)＝x2＋ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：(共6题，共72分)17．(本题10分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝-10- 处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝的值域．18．(本题12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．19.（本题12分）在四棱锥中，，，点是线段上的一点，且，．（1）证明：面面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令=求数列的前项和。21．（本题13分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，g(x)＝(6＋a)·2x－1.(1)若f(1)＝f(3)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，判断函数F(x)＝的单调性，并给出证明；(3)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a(a∉(－4,4))恒成立，求实数a的最小值．22．（本题13分）-10- 椭圆C=1（>>0）的离心率，+=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值．参考答案∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5.故选C.6.答案　D【解析】　∵m＋n>mn，∴(m－1)(n－1)<1.∵m，n∈N*，∴(m－1)(n－1)∈Z，-10- ∴(m－1)(n－1)＝0.∴m＝1或n＝1，故选D.7.答案　D【解析】　由f′(x)＝3－12x2＝0得，x＝±，∵x∈[0,1]，∴x＝，∵当x∈[0，]，f′(x)>0，当x∈[，1]时，f′(x)<0，∴f(x)在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，故x＝时，f(x)取到极大值也是最大值，f()＝3×－4×()3＝1，故选D.8.D【解析】本题主要考查三视图、空间几何体的结构和球的表面积公式,意在考查考生的空间想象能力.如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO·OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π.9.B【解析】本题主要考查算法与程序框图的相关知识,考查运算求解能力.a=95→y=ax是减函数,否→a=×(95-1)=47→y=ax是减函数,否→a=×(47-1)=23→y=ax是减函数,否→a=×(23-1)=11→y=ax是减函数,否→a=×(11-1)=5→y=ax是减函数,否→a=×(5-1)=2→y=ax是减函数,否→a=×(2-1)=→y=ax是减函数,是→x=1→ax=()1>10-3,是→x=1+1=2→ax=()2>10-3,是→x=2+1=3→ax=()3>10-3,是→…→x=8+1=9→ax=()9>10-3,是→x=9+1=10→ax=()10>10-3,否→输出x为10.10.D11.A12.B13.　【解析】　本题考查期望，方差的求法．设ξ＝1概率为P.则E(ξ)＝0×＋1×P＋2(1－P－)＝1，∴P＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)×＋(2－1)2×＝.14.(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)【解析】本题主要考查归纳推理,考查考生的观察、归纳、猜测能力.观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).15.①④16.　(－1,3)-10- 【解析】　由题意，得方程x2＋ax＋1＝x，即x2＋(a－1)x＋1＝0无实根，∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－3＜0，∴－1＜a＜3.17.解：(1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即＝π，解得ω＝2.因为f(x)在x＝处取得最大值2，所以A＝2，从而sin(2×＋φ)＝1，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又由－π<φ≤π，得φ＝.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．(2)g(x)＝＝＝＝cos2x＋1(cos2x≠)．因cos2x∈[0,1]，且cos2≠.故g(x)的值域为[1，)∪(，]．18.解：(1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为，.则P(B)＝(1－)×(1－)＝×＝，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝，所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：P(ξ＝0)＝(1－)×(1－)＝；-10- P(ξ＝120)＝×(1－)＝；P(ξ＝100)＝(1－)×＝；P(ξ＝220)＝×＝；所以ξ的分布列如下：ξ0120100220P(ξ)则数学期望E(ξ)＝0×＋120×＋100×＋220×＝32＋20＋88＝140.19.解（1）由，得，又因为，且，所以面，且面．所以，面面。（2）过点作，连结，因为，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角．在四棱锥中，设，则，，，∴，，从而，即直线与平面所成角的正弦值为．20.解：（Ⅰ）解得-10- （Ⅱ）21．解：　(1)∵f(1)＝f(3)，∴函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝2，即－＝2，故a＝－4.(2)由(1)知，g(x)＝(6－4)·2x－1＝2x，F(x)＝(x∈R)函数F(x)在R上是减函数设x1，x2∈R，且x10，Δy＝F(x2)－F(x1)＝－＝＝.根据指数函数性质及x1