山东省青岛市2015届高三数学上学期期末考试试题 理14页

山东省青岛市2015届高三上学期期末考试数学试题第I卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，则A.B.C.D.2.若复数是纯虚数，则实数的值为A.B.C.D.3.圆和圆的位置关系为A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能4.已知函数，则函数的大致图象为5.下列命题：①是方程表示圆的充要条件；②把的图象向右平移单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数上为增函数；④椭圆的焦距为2，则实数m的值等于5.-14- 其中正确命题的序号为A.①③④B.②③④C.②④D.②6.若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是A.1：16B.39：129C.13：129D.3：277.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是A.2016B.2C.D.8.函数的零点所在的大致区间是A.B.C.D.9.有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少以后一位同学能通过测试的概率为A.B.C.D.10.已知函数有两个极值点，则直线的斜率的取值范围是A.B.C.D.第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.的展开式中的常数项是_________.12.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线-14- 上，则的最小值为_________.13.两曲线所围成的图形的面积是_________.14.若数列的通项公式为,试通过计算的值，推测出_________.15.已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知直线两直线中，内角A，B，C对边分别为时，两直线恰好相互垂直；（I）求A值；（II）求b和的面积17.（本小题满分12分）右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人（I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数；（II）现欲将90~95分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？（III）在（II）的结论下，设随机变量表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望.-14- 18.（本小题满分12分）如图，ABCD为梯形，平面ABCD，AB//CD，，E为BC中点，连结AE，交BD于O.（I）平面平面PAE（II）求二面角的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）19.（本小题满分12分）已知是等差数列的前n项和，数列是等比数列，恰为的等比中项，圆，直线，对任意，直线都与圆C相切.（I）求数列的通项公式；（II）若时，的前n项和为，求证：对任意，都有-14- 20.（本小题满分13分）已知处的切线为（I）求的值；（II）若的极值；（III）设，是否存在实数（，为自然常数）时，函数的最小值为3.21.（本小题满分14分）已知抛物线上一点到其焦点F的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点F.（I）求抛物线和椭圆的标准方程；（II）过点F的直线交抛物线于A、B两不同点，交轴于点N，已知，求证：为定值.（III）直线交椭圆于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为，，，若点S满足：，证明：点S在椭圆上.-14- 16．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)当时，直线的斜率分别为，两直线相互垂直所以即可得所以，所以即即…………………………4分因为，，所以所以只有所以………………………………6分-14- (Ⅱ),所以即所以即…………………………9分所以的面积为……………………12分(Ⅱ)分数段内共名毕业生,设其中男生名,女生为名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件,则则解得或(舍去)即名毕业生中有男生人,女生人…………………8分(Ⅲ)表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,-14- 所以的取值可以为当时,当时,当时,所以的分布列为所以随机变量数学期望为………………………12分18．（本小题满分12分）(Ⅰ)连结,所以为中点,所以,因为,所以与为全等三角形所以所以与为全等三角形所以在中,,即………………3分又因为平面,平面所以……………………………4分而-14- 所以平面………………………5分因为平面所以平面平面……………………6分(Ⅱ)以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系如图二面角即二面角平面,平面的法向量可设为……………7分设平面的法向量为所以,而即:,可求得………………………………10分所以两平面与平面所成的角的余弦值为………………………………12分-14- 设等比数列的公比为,所以恰为与的等比中项,,所以,解得………………………7分所以……………………8分(Ⅱ)时,而时,………………………10分-14- 所以……………………………12分说明:本问也可用数学归纳法做.20．（本小题满分13分）解:(Ⅰ)在处的切线为所以,即又在处,所以所以,可得所以……………………………3分(Ⅱ)时,定义域为极小值可以看出,当时,函数有极小值………………………………8分(Ⅲ)因为,所以假设存在实数，使有最小值,…………………9分①当时，，所以-14- 在上单调递减，（舍去）……………10分②当时,(i)当时,，在上恒成立所以在上单调递减，（舍去）……11分(ii)当时,，当时,所以在上递减当时,在上递增所以,…………12分所以满足条件,综上，存在使时有最小值……………13分-14- 所以,所以(*)……………………5分由得:得:……………………………………7分所以-14- 将(*)代入上式,得…………………9分(Ⅲ)设所以,则由得(1)…………………………………11分,(2)(3)(1)+(2)+(3)得:即满足椭圆的方程命题得证………………………………………………………14分-14-