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  • 2023-12-12 00:00:02 发布

吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 3.1变化率与导数教案 新人教A版选修1-1

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吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学3.1变化率与导数教案新人教A版选修1-1 [教学目的]1.了解导数形成的背景、思想和方法;正确理解导数的定义、几何意义;2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率,建立导数的概念;掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下,让学生积极主动地探索导数概念的形成过程,锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点[教学方法]讲授启发,自学演练。[授课类型]:新授课[课时安排]:1课时[教具]:多媒体、实物投影仪[教学过程]  一、复习提问(导数定义的引入)  1.什么叫瞬时速度?(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)  2.怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度?在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在关系,那么我们就会计算任意一段的平均速度,通过平均速度来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少?表格15 表格2时,在这段时间内时,在这段时间内当0.01时,13.051;当0.01时,13.149;当0.001时,13.0951;当0.001时,13.1049;当0.0001时,13.09951;当0.0001时,13.10049;当0.00001时,13.099951;当0.00001时,13.100049;当0.000001时,13.0999951;当0.000001时,13.1000049;。。。。。。。。。。。。问题:1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗?(表格2)关于这些数据,下面的判断对吗?2.当趋近于0时,即无论从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。3.靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度;4.靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度;5 3.-13.1表示在2秒附近,运动员的速度大约是-13.1。分析:秒时有一个确定的速度,2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度,所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理,比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理,因此,运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。这样,我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1,现在我们一起回忆一下是如何得到的:首先,算出上的平均速度=,接着观察当趋近于0时,上式趋近于一个确定的值-13.1,这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便,我们用表示“当,趋近于0时,平均速度趋近于确定值-13.1”。思考:当趋近于0时,平均速度有什么样的变化趋势?结论:当趋近于0时,即无论从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值.从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员在时的瞬时速度是为了表述方便,我们用表示“当,趋近于0时,平均速度趋近于定值”小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。3.函数在处的瞬时变化率如何表示?导数的定义(板书)函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或,5 即=。例如:2秒时的瞬时速度可以表示为或。附注:①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率;②定义的变化形式:=;=;=;,当时,,所以③求函数在处的导数步骤:“一差;二比;三极限”。三.典例分析例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)2,再求再求解:法一(略);法二:(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.解:例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.5 解:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义,所以;同理可得:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和5,说明在附近,原油温度大约以的速率下降,在第附近,原油温度大约以的速率上升.注:一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.17世纪,力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展,这些发展对数学提出了新的要求,它们突出地表现为四类问题,其中的两类问题直接导致了导数的产生:一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度;二是求已知曲线的切线。由导数的定义,我们知道,高度关于时间的导数是运动员的瞬时速度;气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率。实际上,导数可以描述任何事物的瞬时变化率,如效率、点密度、国内生产总值GDP的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。四.课堂练习1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.2.求曲线y=f(x)=x3在时的导数.3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.5