吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程教案 新人教A版选修2-14页

吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学2.3.1双曲线及其标准方程教案新人教A版选修2-1◆知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．◆过程与方法目标（1）预习与引入过程预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．（2）新课讲授过程（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．〖板书〗把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集．（ii）双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比椭圆：设参量的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．4 类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程．（iii）例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．补充：求下列动圆的圆心的轨迹方程：①与⊙：内切，且过点；②与⊙：和⊙：都外切；③与⊙：外切，且与⊙：内切．解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆的半径为．①∵⊙与⊙内切，点在⊙外，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，即的轨迹方程是；②∵⊙与⊙、⊙均外切，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，∴的轨迹方程是；③∵与外切，且与内切，∴，，因此，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，∴的轨迹方程是．4 例2已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、分别是西、东、北观察点，则，，．设为巨响发生点，∵、同时听到巨响，∴所在直线为……①，又因点比点晚听到巨响声，∴．由双曲线定义知，，，∴，∴点在双曲线方程为……②．联立①、②求出点坐标为．即巨响在正西北方向处．4 ◆能力目标（1）想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（5）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第55页1、2、3作业：第61页1、24