福建省长乐第一中学高中数学《球坐标系与柱坐标系》教案 新人教A版选修45页

球坐标系与柱坐标系教学目的：知识与技能：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法过程与方法：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记|OP|=，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组叫做点P的球坐标，其中≥0，0≤≤，0≤＜2。空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：2、柱坐标系设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π,z∈R空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：5 3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练建立适当的柱坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M的球坐标化为直角坐标.变式训练1.将点M的直角坐标化为球坐标.2.将点M的柱坐标化为直角坐标.3.在直角坐标系中点＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.变式训练标满足方程=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度.思考:在球坐标系中,集合表示的图形的体积为多少?三、巩固与练习四、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则；2．柱坐标系的作用与规则。五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16曲线的参数方程教学目标知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观5 ：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。教学重点：曲线参数方程的概念。教学难点：曲线参数方程的探求。授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：（一）曲线的参数方程概念的引入引例：2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处?引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。）（二）曲线的参数方程1、圆的参数方程的推导（1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，所在直线为轴，如图，以为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？（其中与为常数，为变数）结合图形，由任意角三角函数的定义可知：为参数①（2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移，那么方程组①可以改写为何种形式？结合匀速圆周运动的物理意义可得：为参数②（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为的圆方程？为什么？由上述推导过程可知：对于⊙上的每一个点都存在变数（或）的值，使，（或，）都成立。对于变数（或）的每一个允许值，由方程组所确定的点都在圆上；5 （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数（或）建立起来的方程是圆的方程；）（4）若要表示一个完整的圆，则与的最小的取值范围是什么呢？Ø，（5）圆的参数方程及参数的定义我们把方程①（或②）叫做⊙的参数方程，变数（或）叫做参数。（6）圆的参数方程的理解与认识（ⅰ）参数方程与是否表示同一曲线？为什么？（ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为的圆的部分圆弧的参数方程：①在轴左侧的半圆（不包括轴上的点）；②在第四象限的圆弧。（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。）（7）曲线的参数方程的定义（ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数③，并且对于的每一个允许值，由方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。变数叫做参变量或参变数，简称参数。（ⅱ）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标、间关系的方程叫做曲线的普通方程。（8）曲线的参数方程的理解与认识（ⅰ）参数方程的形式；（横、纵坐标、都是变量的函数，给出一个能唯一的求出对应的、的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标、之间的关系并不一定是函数关系。）（ⅱ）参数的取值范围；（在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。）（ⅲ）参数方程与普通方程的统一性；（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量与之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量与之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。）（ⅳ）参数的作用；（参数作为间接地建立横、纵坐标、之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。）（ⅴ）参数的意义。（如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。）（三）巩固曲线的参数方程的概念例题1：（1）质点开始位于坐标平面内的点处，沿某一方向作匀速直线运动。水平分速度厘米/秒，铅锤分速度厘米/秒，（ⅰ）求此质点的坐标与时刻（秒）的关系；（ⅱ）问5秒时质点所处的位置。5 （2）写出经过定点，且倾斜角为的直线的参数方程。问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到什么启示呢？（第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。）例题2：已知点在圆：上运动，求的最大值。（通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义。）（四）课堂小结1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能选取适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参数的意义。2、思想与方法：参数思想。（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。）（五）作业课本P26，习题2.1，第1、2题。（六）思考（1）若圆的一般方程为，你能写出它的一个参数方程吗？（2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为，则经过时间该游客的位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建立相对应的参数方程，并得到游客的具体位置呢？5