福建省漳州市芗城中学高中数学 3对称问题专题训练 新人教A版必修25页

福建省漳州市芗城中学高中数学3对称问题专题训练新人教A版必修2目标：能运用直线方程的知识解决与直线有关的对称和最值问题。一、基本对称：x轴y轴原点直线y=x直线y=-x点(1,2)P(x0,y0)直线Ax+By+C=0练习：2x+3y–6=0方程：f(x,y)=0函数y=f(x)规律图象应用：y=x2+2x+3(x–1)2+(y+1)2=4二、点对称（中心对称）——图像旋转180°后重合1、举出中心对称的例子：如：正方形、正多边形、圆、奇函数的图像。2、点与点对称：例1：点M（4，3）关于N（5，–3）的对称点是。一般结论：点P(x0,y0)关于点Q(a,b)的对称点是。解题思路：中点坐标公式。3、直线关于点对称：例2：直线y=3x-4关于点(1,1)对称的直线方程是。解题思路：（1）直线上任取两点，求关于(1,1)的对称点——确定一条直线；（2）两对称直线平行，直线的方程可设为3x–y+m=0，由点到直线的距离相等可得；（3）设P(x0,y0)为直线y=3x-4上任一点，∴y0=3x0–4……①，又P(x0,y0)关于(1,1)的对称点为P(x,y)，得5 代入①即得。注：本题用（2）较简单，但（3）为一般解法，适用于所有的函数和方程。练习：1、方程x2+y2=1关于点（1，1）对称的方程为。2、点A(3，–1)关于点B（2，1）的对称点是。3、直线2x–y+1=0关于点(2,4)对称的直线方程是。直线x+y+1=0关于点(2,3)对称的直线方程是。三、轴对称（直线）——沿直线翻折后图像重合1、举出轴对称的例子：如：正多边形、圆、偶函数的图像、互为反函数的图像。2、点关于直线对称：例3：点M(2,4)关于直线l:2x–y+1=0的对称点是。解题思路：设N(x0,y0)，则l为MN的垂直平分线，得联立方程组求解。练习：1、点M(2,3)关于直线x+y+1=0的对称点是。2、点(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是。3、点A(4,5)关于直线l的对称点是B(-2,7)，则l的方程是。3、直线关于直线对称：例4：直线l1:x–y–2=0关于直线l2:3x–y+3=0对称的直线方程为。解题思路：（1）夹角相等——求斜率；过交点——解方程组。（2）l1上任取一点，求关于l2的对称点坐标，所求直线必过对称点及交点。（3）设P(x0,y0)是l1上的任一点，∴x–y–2=0……①P关于直线l2的对称点为Q(x,y)，得：5 把x,y看成常数，求得x0,y0，代入①即得。注：本题用（1）较简单，但（3）为一般解法，适用于所有的函数和方程。练习：1、求直线2x+3y–6=0关于直线x+y–1=0的对称直线方程。2、已知直线l:x+y–2=0，一束光线过点P(0,)以120°的倾斜角投射到l上，经l反射后，求反射线所在直线的方程。3、有一光线从点A(2,13)射到直线l:3x–4y–4=0以后，再反射到点B(-3,3)，求这条光线的入射线的反射线所在直线的方程以及这条光线从A到B所经过的路程。4、光线沿着斜率为的直线l1射在斜率为的直线l2上反射，若l1和l2的交点为点(-1,2)，求反射线所在的直线方程。一般结论：求直线Ax+By+C=0关于直线y=±x+b的对称直线的方程。设P(x0,y0)，则Ax0+By0+C=0，P关于直线y=±x+b的对称点为Q(x,y)，则有或。注：在解答题中，把满足的条件（方程组）写出后，可直接得出结论。如：练习1，2。（检验）四、最值问题例5：已知P为x轴上一动点，A(0,3),B(4,5)为两定点，求|PA|+|PB|的最小值。引申：求函数的值域。练习：1、求函数的值域。5 2、求函数的值域。例6：在直线l:x+y–8=0上求一点M，使之与两定点A(-4,0)及B(4,0)的距离之和最短。五、高考题选1（93）和直线3x–4y+5=0关于x轴对称的直线方程是。2（90）如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么a=,b=。3（92）已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0)，那么l2的方程是。4（91）点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点坐标是。5（92）原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为。6（92上海）如果直线l与直线x+y–1=0关于y轴对称，那么直线l的方程是。7（97）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，则椭圆C的方程是。小结归纳：对称问题分为点对称及轴对称，点对称仅用中点坐标公式即可，轴对称用对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决。特别是关于原点对称、坐标轴对称、直线x±y=0对称都要熟练掌握。最值问题常用的方法是目标函数法和几何法。5 5