13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质-人教版数学八年级上册教学资源4页

第十三章 轴对称 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 1.问题引入 （见幻灯片3） 2.探究点 新知讲授 （见幻灯片5-19） 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第2课时 含30角的直角三角形的性质 学习目标：1．探索含30角的直角三角形的性质. 2．会运用含30角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算． 重点：含30角的直角三角形的性质． 难点：运用含30角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算． 自主学习 知识链接 1.等边三角形的性质有哪些？ 2.如何判定一个三角形是等边三角形？ 课堂探究 1、 要点探究 探究点：含30角的直角三角形的性质 拼一拼：如图，将两个相同的含30角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ A（D） B C（F） E D F E A B C 填一填： ∠A=∠D=_______，∠BAC=___________; AB=DE,△ABE是__________三角形；2BC=BE=________. 要点归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 证一证： 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90，∠A =30. 求证：BC=AB. 教学备注 方法一：倍长法 A B C 【提示：延长BC至D，使CD=BD，连接AD】 证明： 方法二：截半法 【提示：在BA上截取BE=BC，连接EC】 证明： 方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法. 典例精析 例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 注意：运用含30角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． 例2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C.1.5 D．1 方法总结：含30角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30角的直角三角形． 例3 如图，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 方法总结：含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质． 例4：已知:等腰三角形的底角为15，腰长为20.求腰上的高. 教学备注 3课堂小结 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30角，利用含30角的直角三角形的性质解决问题. 针对训练 1.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30，AD＝2cm，则AC的长是( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 2.如图，在△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____． 第2题图 第3题图 3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____ m. 4.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于点D，∠A=30. 求证：AB=4BD 证明：∵△ABC中，∠ACB=90，∠A=30 ∴ BC= AB ∠B= 又∵△BCD中,CD⊥AB ∴∠BCD= ∴BD= BC ∴BD= AB 即 . 5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长. 二、课堂小结 含30角的直角三角形的性质：应用的前提在 三角形中，结论是30角所对的直角边是 的一半，而不是任一直角边是斜边的一半． 教学备注 4.当堂检测（见幻灯片20-25） 当堂检测 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 第1题图 第2题图 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元 C A B D C 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90，CD 是高，∠A =30，AB =4．则BD = . B A 第3题图 第5题图 4. 在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = . 5. 如图，Rt△ABC中，∠A= 30，AB+BC=12cm，则AB=______. 6.在△ABC中，∠C=90，∠B=15，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长． . 7.在 △ABC中，AB=AC,∠BAC=120，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 拓展提升 8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.