【精品讲义】初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第1章 第5节 小船过河问题初探（含答案）10页

第五节 小船过河问题初探
一、船速与船相对于水的速度
小船过河问题，涉及三个速度：河水的流速 、船相对于水的速度 、船相对地面
的速度 ，现对三个速度理解如下：
(1)船在静止的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将静止在
水中，相对于水静止，对地也静止。
(2)船在流动的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将顺水漂
流，相对于水静止，对地速度等于水速。
(3)船在流动的河水中，如果船开动发动机或者人划桨，则船将相对于水运动，船对地
速度 与水速 、船相对于水的速度 的关系如图 3.83 所示。其中，
船相对于水的速度 也就是船在静水中的速度，只与船本身有关，
的方向总是沿着船头所指的方向。
例 1 如图 3.84 所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变，船行驶时相对水的速度大
小始终不变。一开始船从岸边 点出发，船身始终垂直河岸，船恰
好沿 航线到达对岸 点耗时为 ， 与河岸的夹角为 。
调整船速方向，从 点出发沿直线 返航回到 点耗时 ，则
为( )。
A．1：1 B．1：2
C．1：3 D．1：4
分析与解 由 点出发时，船身始终垂直河岸，即船相对水的速度 垂直于河岸，船
相对地面的速度 沿着 方向，画出 ， ， 所围成的三角形如图 3.85 所示，可知
， ，则 。当船由 点返回时，其对地速度 沿着
方向， ， ， 围成的三角形如图3.85所示，因为 与 夹角为 ，且 ，
可知这一个等腰三角形，即 ，因此 ，可得 ，本题正确选
项为 B。
实际上，我们也可以将船在静水中的速度 沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解。
如图3.86所示，设船与河岸夹角为 ， 为水流速度，则 为船实际上沿水流
v水 v船
v
v v水 v船
v船
v船
A
AB B 1t AB 60°
B BA A 2t
1 2:t t
A v船
1v AB v水 v船 1v
3v v=船 水 1 2v v= 水 1
1 2
AB ABs st
v v
= =
水
B 2v BA
v水 v船 2v v水 2v 120° 3v v=船 水
2v v= 水 2
2
AB ABs st
v v
= =
水
1 2: 1: 2t t =
v船
θ v水 cosv vθ −船 水

方向的运动速度， 为船垂直于河岸方向的运动速度。

二、小船过河的两个典型问题
1．过河时间最短问题
渡 河 时 间 只 取 决 于 在 垂 直河 岸 方 向 上 的 船 速 ， 即
，当 时，渡河时间最短， ，此时
船头应正对着对岸前进，如图 3.87 所示。船沿河岸方向前进的距
离为 。
2．渡河距离最短问题
河宽 是所有渡河距离中最短的，但是否在任何情况下渡河距离最短的一定是河宽
呢？下面就这个问题进行如下分析：
要使渡河距离最小为河宽 ，只有使船对地面的速度垂直河岸，如图 3.88 所示，则
， ， 因 为 ， 因 此 只 有
，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短距离为河
宽 ，渡河时间 。
由以上分析可知，当 时，小船将不能垂直河岸渡河，但此时仍存在最小的渡河
距离。要使得渡河距离最小，应该让小船相对地面的速度 与河岸的夹角尽量大，可以
用以下方法求解最小渡河距离：以水流速度 的末
端为圆心，以小船在静水中的速度 的大小为半径
作圆，过速度的起点作该圆的切线，此时让船速与过
切点的半径平行，如图 3.89 所示，从而小船实际运动
的速度(对地速度 对)与河岸方向的夹角最大，
即 与 垂直时，小船渡河距离最短。
sinv θ船
sin
d
t
v θ
=
船
90θ = ° min
d
t
v
=
船
min
v d
s v t
v
= = 水水
船
d d
d
cosv vθ =船 水 cos
v
v
θ = 水
船
cos 1θ <
v v>船 水
d =
sin
d d
t
v v θ
=
船对地 船
v v<船 水
v船对地
v水
v船
v船对地
v船 v船对地

由相似三角形知识可得 ，解得 ，船与河岸的夹角 满足 。
渡河时间仍可以采用上面的方法求得： 。
例2 某河流河道笔直，河宽为 ，水流速度为 ，船在静水中的速
度是 ，求：
(1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船沿着河岸运动的距离为
多少？船实际通过的距离为多少？
(2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间为多长？
(3)如果水速增为 ，...