高中数学 3.3《几何概型》教案（1） 苏教版必修36页

3.3《几何概型》教案(1)教学目标：（１）了解几何概型的概念及基本特点；（２）熟练掌握几何概型中概率的计算公式；（３）会进行简单的几何概率计算．教学重点、难点：（１）掌握几何概型中概率的计算公式；（２）会进行简单的几何概率计算．教学过程：一、问题情境１．情境：情境１．如上图：小猫钓鱼游戏中,若鱼钩落在红色的正方形内就可获得一等奖，问获得一等奖的概率有多大？若改为圆呢？情境２．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于的概率有多大？情境3．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？问题：这三个问题是古典概型吗？二、学生活动：经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为的绳子上的任意一点．第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为的大圆内的任意一点．在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂，但是显然不能用古典概型的方法求解．考虑第一个问题，如图，记＂剪得两段的长都不小于＂为事件6 ．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件发生的概率．　　　　　　　　　　　　图第二个问题，如图，记＂射中黄心＂为事件，由于中靶心随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心内时，事件发生，于是事件发生的概率．图三、建构数学１．几何概型的概念：　　　　　　　　　对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．２．几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．３．几何概型的概率：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率．说明：（１）的测度不为；（２）其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．6 （３）区域为＂开区域＂；（４）区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．四、数学运用１．例题例１．取一个边长为的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．（＂测度＂为面积）分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比．解：记＂豆子落入圆内＂为事件，则．答：豆子落入圆内的概率为．　　　　　　　　　　　　　　　图例2.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的概率.解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m时，事件A发生，于是事件A发生的概率。例3.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?解：取出麦种，其中＂含有病种子＂这一事件记为，则．答：含有麦锈病种子的概率为．例4．在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求小于6 的概率．（＂测度＂为长度）　　　　　图解：在AB上截取AC’=AC于是P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）答：AM小于AC的概率为2．练习1.某人上班前，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A，打开收音机的时刻位于(50，60)时间段内则事件A发生。由几何概型的求概率公式得P（A）=（60-50）/60=1/6，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6。2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率.3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?4.如右下图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.6 5.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.6.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现,这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解:记事件A：按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉。则事件A发生就是在０—40s时间段内按错键。故。7.（会面问题）甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：以x,y分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0≤x≤5,0≤y≤5.即点M落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。两人会面的条件是：6 记“两人会面”为事件A8.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件。根据题意,只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即时间A发生,所以五．回顾小结：1.古典概型与几何概型的区别相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。2.几何概型的概率公式。3.几何概型问题的概率的求解.六．课外作业：课本第103页习题３．３第１，２，３，４题6