高中数学教案必修三：2.4 线性回归方程（1）6页

www.ks5u.com教学目标：1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2.在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3.知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示． 说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/C261813104杯数202434385064如果某天的气温是，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程,得到相应的六个的值:.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和说明：是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度,所以,设法取的值,使达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（methodofleastsquare）.先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时,取得最小值.同理,把看作常数,那么是关于的二次函数.当时,取得最小值.因此,当时，取的最小值，由此解得.所求直线方程为.当时,,故当气温为时,热茶销量约为杯.2．线性相关关系：像这样能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linercorrelation).3．线性回归方程：一般地,设有个观察数据如下：…… 当使取得最小值时,就称为拟合这对数据的线性回归方程（linearregressionequation）,该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小值时的的值．即结论：,（*）,说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求．四、数学运用例题　下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．机动车辆数／千台95110112120129135150180交通事故数／千件6.27.57.78.58.79.810.2131．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：10t）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量．年份19951996199719981999200020012002排放量151189.1194.8203.8220.9227.7232.3 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50（1）画出散点图；（2）求线性回归方程．五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数的计算公式，算出．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数；②计算的积，求；③计算；④将结果代入公式求；⑤用求；⑥写出回归方程 w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com