14.3.1 提公因式法1-人教版数学八年级上册教学资源3页

14．3　因式分解 14．3.1　提公因式法 1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分解因式．(重点) 2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．多媒体展示，让学生完成． 计算：(1)m(a＋b＋c)；(2)(a＋b)(a－b)；(3)(a＋b)2. 学生通过回忆前面所学的解题方法，完成解题，并积极作答： (1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc； (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2； (3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 2．学生通过对比上题发现： (1)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)； (2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)； (3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2. 3．教师肯定学生的表现，说明其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式，该过程叫做因式分解，这节课我们就来探讨它． 二、合作探究 探究点一：因式分解的概念 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B. 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 探究点二：提公因式法分解因式 【类型一】 确定公因式 多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是(　　) A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab 解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D. 方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【类型二】 用提公因式法因式分解 因式分解： (1)8a3b2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b. 解析：将原式各项提取公因式即可得到结果． 解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)； (2)原式＝(2a－3)(b＋c)； (3)原式＝(a＋b)(a－b－1)． 方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式． 【类型三】 利用因式分解简化运算 计算： (1)3937－1391； (2)2920.16＋7220.16＋1320.16－20.1614. 解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.16，进而求出即可． 解：(1)3937－1391＝31337－1391＝13(337－91)＝1320＝260； (2)2920.16＋7220.16＋1320.16－20.1614＝20.16(29＋72＋13－14)＝2016. 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 【类型四】 利用因式分解整体代换求值 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝47＝28. 方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值． 【类型五】 因式分解与三角形知识的综合 △ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由． 解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，∴(a－c)＝0或(1＋2b)＝0，即a＝c或b＝－(舍去)，∴△ABC是等腰三角形． 方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状． 【类型六】 运用因式分解探究规律 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3. (1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次； (2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________； (3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)． 解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案． 解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次； (2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2015次，结果是(1＋x)2015； (3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1. 方法总结：解决此类问题需要认真阅读理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键． 三、板书设计 提公因式法 1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式． 2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形． 3．提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式． 本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果．