【精品讲义】初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第3章 第1节 功与功率（含答案）15页

第三讲 功和能
我们解决物理问题时，往往从两个观点入手：力的观点和能量的观点。力的观点，即分析物体
受力情况与运动情况，运用力与运动的规律来求解问题；能量的观点，即从做功与能量转化、能量
守恒的角度来求解问题。本讲将介绍功、功率以及机械能的相关知识。
第一节 功与功率
一、功
(一)功的概念
如果一个力作用在物体上，且物体沿着力的方向移动了一段距离，我们就说这个力对物体做了
功。因此，做功有两个必不可少的要素：作用在物体上的力、物体沿力方向移动的距离。功的计算
公式为 ，其中 为物体沿力的方向移动的距离，也可理解为物体实际前进的距离沿 方向
的分量。功的单位为焦耳，简称焦，符号为 ， 。
对于更一般的情况，如图 5.1所示，如果力 与物体移动的距离
之间有夹角 ，则可以这样求解力 所做的功：将力 分解为沿着移动
距 离 方 向 的 分 力 和 垂 直 于 移 动 距 离 方 向 的 分 力
，由于分力 与移动方向垂直，不做功，所以力 做的功
实际上等于其分力 做的功，有 。因此：
(1)当 时， ， 。
(2)当 时， ， ，即力对物体不做功。
(3)当 时， ， ，即力对物体做负功，或说物体克服力 做功 。
比如， ，我们可以说“力 对物体做功 ”，或“物体克服力 做功 ”。力对物体做
正功，表明这个力促进物体的运动；力对物体做负功，表明这个力阻碍物体的运动。
例 1 如图 5.2 所示，斜面高度为 ，长度为 ，用一个平行于斜面
的力把重力为 的物体匀速拉到斜面顶端，拉力所做的功为 ，则斜面对
物体的摩擦力大小为多少？摩擦力对物体做的功是多少？
分析与解 设拉力为 ，斜面倾角为 ，则拉力 做功为 ，
所以 。将重力 正交分解，则重力沿斜面向下的分力为 ，则拉力
W Fs= s F
J 1J 1N m= ⋅
F s
θ F F
1 cosF F θ=
2 sinF F θ= 2F F
1F 1 cosW F s Fs θ= =
0θ = ° cos 1θ = W Fs=
90θ = ° cos 0θ = 0W =
180θ = ° cos 1θ = − W Fs= − F Fs
5JW = − F 5J− F 5J
h l
G W
F θ F W Fl=
W
F
l
= G 1 sin
Gh
G G
l
θ= =

，解得 。考虑到摩擦力方向与物体移动方向相反，摩擦力做功
。
(二)变力做功的求解
功的计算公式为 ，只适用于恒力做功，即 的大小、方向均不变。当力 的大小、方
向发生变化时，不能再简单地套用公式 来求解功的大小。下面介绍几种常见的求解变力做
功的方法。
1．等值法
所谓等值法，即找到某个与变力做功相同的恒力，求出该恒力做的功，便可得到变力做功的值。
例 2 如图 5.3所示，定滑轮到滑块顶端的高度为 ，定滑轮摩擦不
计，用恒力 作用于细线末端，滑块在 ， 位置时细绳与水平方向的
夹角分别为 和 。求将滑块由 点拉至 点的过程中，绳的拉力对滑
块做的功。
分析与解 作用在绳子末端的拉力为 ，则绳子对滑块的拉力大小
也恒为 ，但是在滑块移动的过程中，绳子拉力的方向时刻改变，因此不能直接套用功的计算公式
来求绳子对滑块做的功。考虑到绳子不可伸长，绳子只是把拉力 做的功“传递”给物块，因此，
绳子拉力对物块做的功等于恒力 对绳子端点做的功。由几何关系，绳端移动的距离等于
，拉力 做功 ，即绳子对滑块做功为 。
2．图像法
对于恒力做功，在力与距离同向时，除了可以应用公式 来求解功外，还可以画出恒力
与物体移动距离 的图像，这是一条平行于横轴的直线，如图 5.4( )所示，力 做的功可以用图像
下方的面积来表示。对于随距离变化的力，例如 5.4( )所示， 图像下方的面积表示变力 所
做的功。若力与距离的关系满足 或 ，则图像下方的面积为三角形、梯形，
我们便可以方便地求得变力做功的值。
1F G f= + 1
W Gh
f F G
l
−= − =
fW fl Gh W= − = −
W Fs= F F
W Fs=
H
F A B
α β A B
F
F
F
F
sin
H
s
α
=
sin
H
β
− F 1 1
sin sin
W Fs FH
α β
 = = − 
 
1 1
sin sin
FH
α β
 − 
 
W Fs= F
s a 1F
b F s− F
F ks= (...