【精品讲义】初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第2章 第4节 有固定转动轴的物体的平衡（含答案）29页

第四节 有固定转动轴的物体的平衡
我们学习过杠杆的概念，杠杆就是在力的作用下可以绕固定点转动的一根硬棒。在这一节，我
们将加以延伸，得到更一般情况下物体处于转动平衡的条件。
一、转动轴与力矩
日常生活中我们可以见到许多转动的物体，比如，开门或者关门时，门绕着门轴做圆周运动，
电风扇转动时，叶片上各个点都做圆周运动，圆周的中心在同一条直线上。像这样物体在转动时，
各点做圆周运动的圆心的连线叫做转轴。例如，地球的转轴就是地轴。地球、门、电风扇都在做定
轴转动，即绕着固定轴转动。
力使物体转动的效果不仅与力的大小有关，还与转轴到力
的作用线的距离有关。从转轴到力的作用线的垂直距离叫做力
臂。在纸面内作图时，转轴往往与纸面垂直，与纸面有一个交
点，而力往往在纸面内，因此力臂实际上是该交点(即通常所说
的支点)到力的作用线的距离，如图 4.173 所示。
力和力臂的乘积叫做力对转轴的力矩，力矩用 表示，表达式为 ，其单位为“牛•米”，
符号为“ ”。力矩是表示力对物体转动作用大小的物理量。我们学过的“动力乘以动力臂”“阻
力乘以阻力臂”实际上都是指力矩。显然，若力的作用线通过转轴，则该力的力矩为零，对物体没
有转动效果。
二、有固定转动轴的物体的平衡条件
当有一定大小和形状的物体处于静止状态，或绕某一点匀速转动时，我们就说该物体处于平衡
状态。
作用在物体上的力，当力矩不为零时，力就会对物体有转动效果。在纸面内，我们可以把力使
杠杆转动的方向分为顺时针和逆时针方向，例如图 4.173 所示，力 对物体的转动效果是顺时针方
向，力 对物体的转动效果是逆时针方向，这两个力使物体的转动方向是相反的。
结合杠杆的平衡条件不难得知，有固定转动轴的物体的平衡条件，是使物体向逆吋针转动的力
矩之和，等于使物体向顺时针转动的力矩之和，写成表达式即 ，或写成
的形式。
值得一提的是，对于处于平衡状态的物体，由于它所受的各个力的合力必为零，因此选取任何
位置作为支点，物体所受到的力对该支点的力矩都是平衡的。处理问题时，我们也常常选取合适的
支点来列出平衡方程，从而使得解决问题更简便。同时，我们还常常将力矩平衡与共点力平衡相结
合，列出平衡方程组来求解未知量。
下面分类举出具体的例子，供读者学习参考。
1．巧取转动轴
M M FL=
N m⋅
1F
2F
M M= 顺逆
1 1 2 2 3 3 4 4Fl F l F l F l+ = +

对于静止的物体，不仅满足共点力平衡，同时对任意转动轴也都满足力矩平衡。因此我们在分
析物体的力矩平衡时，可以选择一些力的交点作为转轴，使这些力的力矩为零，从而使解决问题变
得简便。
例 1 (上海第 24 届大同杯初赛)如图 4.174 所示，三根长度均为 的轻绳分别连接于 ， 两
点， ， 两端悬挂在水平天花板上，相距为 。现在 点悬挂一个质
量为 的重物，为使 绳保持水平，在 点应施加的最小作用力为( )。
A． B．
C． D．
分析与解 本题可以先分析 点的受力情况，得出细线 拉力大小恒定，然后分析 点受力
情况，画出力的动态三角形，也可以求解拉力的最小值(请读者尝试)。现在我
们不妨延长 ， 交于 点，如图 4.175 所示。将 视为一个杠杆，
选取 点为转轴，则细线 ， 的拉力力矩为零。物体通过细线对 点
的拉力大小为 ，由几何关系可知 为等边三角形， 的力臂为
，拉力 的力臂的最大值即为 的长度，等于 ，因此 的最小值
满足 ，可得 ，本题正确选项为 C。
例 2 如图 4.176 所示，长为 的轻绳一端固定在倾角为 的粗糙斜面上，另一端系着半径为
、质量为 的均匀球顶部，绳子恰与圆球相切，且绳子水平。求：绳子对球的拉力 、斜面对球
的支持力 以及斜面对球的静摩擦力 。
分析与解 如图 4.177 所示，画出球体所受各个力的示意图。其中静摩擦力 沿斜面向上，可
以选 点为转轴，如果 沿斜面向下的话，球不会平衡。同时，选 为转轴，发现重力与支持力的
力矩为零，而绳子拉力 与摩擦力 的力臂均为球的半径 ，因此可得 。再选绳子与斜面
的交点 为转轴，则绳子拉力 与摩擦力 的力矩...