物理二轮（山东专用）学案：专题1 第4讲　万有引力定律及其应用 Word版含解析9页

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第 4 讲　万有引力定律及其应用
[析考情·明考向]___________________________________考情分析__透视命题规律
一、构建体系　透析考情
思维导图 考情分析

1.有关万有引力定律及
其应用的题目在高考中
通常以选择题的形式出
现，极个别情况下会出
现在计算题中，难度中
等。
2.在考查内容上一般考
查开普勒运动定律的应
用、天体运行参数间的
关系、天体质量(密度)的
估算，还可能考查万有
引力定律与动力学、能
量相结合的问题，如
2020 年山东卷第 7 题。
二、熟记规律　高效突破
1．重力和万有引力的关系
(1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有 G
Mm
R2
＝mg，
其中 g 为星球表面的重力加速度。
(2)考虑自转时，在两极上才有
GMm
R2
＝mg，而赤道上则有
GMm
R2
－mg＝m
4π2
T2
R。
2．一个重要公式：黄金代换式 GM＝gR2，应用于题目中没有给出引力常量 G 或天体质量 M，
而提供了天体表面重力加速度 g 的信息的情况。
3．万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力
(1)列出五个连等式：G
Mm
r2
＝ma＝m
v2
r
＝mω2r＝m
4π2
T2
r。
(2)导出四个表达式：a＝G
M
r2
，v＝
GM
r
，ω＝
GM
r3
，T＝
4π2r3
GM
。
(3)定性结论：r 越大，向心加速度 a、线速度 v、角速度 ω 均越小，而周期 T 越大。
4．三类卫星
(1)近地卫星：G
Mm
R2
＝mg＝m
v2
R
。
(2)同步卫星：G
Mm
（R＋h）2
＝m(R＋h)(
2π
T
)2(地球自转周期 T＝24 h)。
(3)双星：
Gm1m2
L2
＝m1ω2r1＝m2ω2r2，r1＋r2＝L。
5．卫星变轨问题：当卫星速度减小时，F 向小于 F 万，卫星做近心运动而轨道下降，此时 F 万
做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过
程相反。
[研考向·提能力]___________________________________考向研析__掌握应试技能
考向一　天体质量及密度的计算
1．两条思路
(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度 g 计算。由 G
Mm
R2
＝mg 求出 M＝
gR2
G
，进而求得 ρ＝

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M
V
＝
M
4
3
πR3
＝
3g
4πGR
。
(2)利用环绕天体的轨道半径 r 和周期 T 计算。由 G
Mm
r2
＝m
4π2
T2
r，可得出 M＝
4π2r3
GT2
。若环绕天
体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径 r＝R，则 ρ＝
M
4
3
πR3
＝
3π
GT2
。
2．两点提醒
(1)利用 G
Mm
r2
＝m
4π2
T2
r 只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。
(2)注意区分轨道半径 r 和中心天体的半径 R，计算中心天体密度时应用 ρ＝
M
4
3
πR3
而不是 ρ＝
M
4
3
πr3
。
[典例 1]　(2020·浙江省名校联合体高三下学期 3 月第二次联考)2020 年，我国将一次实现火星
的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半
径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，测得运动周期为 T，之后通过变轨、减速落向火星。探
测器与火星表面碰撞后，以速度 v 竖直向上反弹，经过时间 t 再次落回火星表面。不考虑火星
的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为 G，则火星的质量 M 和火星的半径 R 分
别为(　　)
A．M＝
v3T4
128π4Gt3
，R＝
vT2
16π2t
B．M＝
v3T2
128π4Gt3
，R＝
vT2
16π2t
C．M＝
v3T4
1 024π4Gt3
，R＝
vT2
32π2t
D．M＝
v3T4
1 024π4Gt2
，R＝
vT
32π2t
[解析]　探测器与火星表面碰撞后，以速度 v 竖直向上反弹，经过时间 t 再次落回火星表面，
则火星表面的重力加速度 g＝
2v
t
，根据万有引力定律，对火星表面的物体有 G
Mm0
R2
＝m0g，探
测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动周期为 T，则 G
Mm
（2R）2
＝m
4π2
T2
·2R，联立解得 R＝
vT2
16π2t
，M＝
v3T4
128π4Gt3
，故 A 正确，B、C、D 错误。
[答案]　A
1. (2020·四川成都高三诊断)2019 年 1 月 3 日上午，“嫦娥四号”顺利着陆月球背面，成为人
类首颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。已知地球和月球的半径之比为
R
R0
＝a，表面
重力加速度之比为
g
g0
＝b，则地球和月球的密度之比为
ρ
ρ0
为(　　)

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