高中物理竞赛(运动学)15页

运动学
一.质点的直线运动运动
1.匀速直线运动
2.匀变速直线运动
3.变速运动:
微元法
问题：如图所示，以恒定的速率v1拉绳子时，物体沿水平面运动
的速率v2是多少？
设在∆t（∆t→0）的时间内物体由B点运动到C点，绳子与水平面成
的夹角由α增大到α+∆α，绳子拉过的长度为∆s1，物体运动的位移大小为∆s2。
因∆t→0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比，
位移比等于速率比，v平= v即=∆s/∆t，∆s1与∆s2有什么关系？
如果取∆ACD为等腰三角形，则B D=∆s1，但∆s1≠∆s2cosα。
如果取∆ACD′为直角三角形，则∆s1=∆s2cosα,但D′B≠∆s1。
普通量和小量；等价、同价和高价
有限量（普通量）和无限量∆x→0的区别.
设有二个小量∆x1和∆x2，当 , ∆x1和∆x2为等价无穷小，可互相代替，当 普通量, ∆x1
和∆x2为同价无穷小，当 （或 ）, ∆x2比∆x1为更高价无穷小。
在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。
如当α→0时，AB弧与AB弦为等价，α（圆周角）和θ（弦切角）为同价。
如图∆OAB为等腰三角形，∆OAD为直角三角形，OA=OB=OD+BD=OD。
，即 （等价）。
，比α更高价的无穷小量。
回到问题：因为DD′为高价无穷小量，绳子拉过的长度∆s1=BD=BD′，
因直角三角形比较方便，常取直角三角形。（v2=v1/cosα）
例：如图所示，物体以v1的速率向左作匀速运动，杆绕O点转动，求
（1）杆与物体接触点P的速率？（v2=v1cosα）
（2）杆转动的角速度？（ω=v1sinα/OP）。
1. 细杆M绕O轴以角速度为ω匀速转动,并带动套在杆和固定的AB钢丝
上的小环C滑动,O轴与AB的距离为d，如图所示.试求小环与Ａ点距
离为X时，小环沿钢丝滑动的速度.（答案： ）
1
2
1 →
x
x
∆
∆
→
2
1
x
x
∆
∆
∞→
2
1
x
x
∆
∆
0
1
2 →
x
x
∆
∆
OA
AD
OA
AB
OD
AD
OA
AD ==== ααα ,tan,sin ααα == tansin
22
sin2cos1
2
2 ααα ==−
ω
d
dx 22 +

解:设t时刻小环在C位置,经∆t时间(∆t足够小),小环移动∆x,由于∆t很小,所以∆α 也很小, 于
是小环的速度v=∆x/∆t, 根据图示关系,CD=OC×∆α, ， ,从上面关系
得
.
2. 用微元法求：自由落体运动，在t1到t2时间内的位移。（答案： ）
解：把t1到t2的时间分成n等分，每段为∆t,则 ,且看成匀速。
则v1=gt1+g∆t,∆s1=( gt1+g∆t)∆t,
v2=gt1+2g∆t,∆s2=(gt1+2g∆t)∆t,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
vn=gt1+ng∆t,∆sn=(gt1+ng∆t)∆t,
s=∆s1+∆s2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∆sn= .
若v1=gt1,∆s1=gt1∆t,
v2=gt1+g∆t,∆s2=(gt1+g∆t)∆t,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
vn=gt1+（n-1）g∆t,∆sn=[gt1+（n-1）g∆t]∆t,
s=∆s1+∆s2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∆sn=
也可用图象法求解。
3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反
比 , 当 蚂 蚁 爬 到 距 巢 中 心 L1=1m 的 A 点 处 时 , 速 度 是
v1=2cm/s.试问蚂蚁从A点爬到距巢中心L2=2m的B点所需
的时间为多少? （答案：75s）
解法1:将蚁巢中心定为坐标原点O,OA连线即为x轴正方向,则坐标x处蚂蚁的速度可表示
为 .将AB连线分成n等份,每等份 .当n很大时,每小段的运动可看成是匀
速运动.
每小段对应的速度为 ， ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 。
s
解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度 ,
即 ，1/v-x的图象如图所示。
α
∆
cos
CO
x = 22 dxOC +=
ωωω
α
ω
α∆α
α∆
∆
∆
d
dx
dxd
dxdxOC
t
OC
t
x
v
22
22
2222
)/(coscoscos
+=
+
+=+====
2
1
2
2 2
1
2
1
gtgt −
n
tt
t 12
−
=∆
2
1
2
2
2
12
121
2
1 2
1
2
1
2
)(
)(
2
)1(
gtgt
ttg
ttgt
nn
tgtngt −=
−
+−=
+
+ ∆∆
2
1
2
2
2
12
121
2
1 2
1
2
1
2
)(
)(
2
)1(
gtgt
ttg
ttgt
nn
tgtngt −=
−
+−=
−
+ ∆∆
x
vL
v 11=
n
LL
x
)( 12 −=∆
1
11
1 L
vL
v =
xL
vL
v
∆+
=
1
11
2 xnL
vL
vn ∆)1(1
11
−+
=
])3()2()([ 1111
1121
 +++++++=++= xLxLxLL
vL
x
v
x
v
x
v
x
t
n
∆∆...