匀变速直线运动的位移与时间的关系10页

第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
理解领悟
本节课运用极限思想，用速度图象中图线下面四边形的面积代表位移，导出了匀变速直
线运动的位移公式，并进一步导出了匀变速直线运动的速度—位移关系式。要会应用匀变速
直线运动的位移公式及速度—位移关系式分析和计算。
基础级
1. 从速度图象求匀速直线运动的位移
匀速直线运动的速度不随时间变化，所以其速度图象是平行
于时间轴的直线。由匀速直线运动的位移公式 x = v t 结合速度图
象可知，匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间
的面积（如图 2－20 中矩形 OABC 的面积）来表示。
2. 从速度图象求匀变速直线运动的位移
对于匀变速直线运动，上述结论也成立吗？
仔细研究教材“思考与讨论”栏目中用纸带上各点的瞬时速度
估算小车位移的方法，不难看出：时间间隔越小，对位移的估算就越精确。
图 2－21 中的倾斜直线 AB 表示一个做匀变速直线运动的速
度图线。为了求出物体在时间 t 内的位移，我们把时间划分为许多
小的时间间隔。设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而
从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。
因此，它的速度图线由图 2－21 中的一些平行于时间轴的间断线
段组成。由于匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之
间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间 t 内的位移，可用
图 2－21 中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示。如果时
间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体的真实运动
的图象，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线 AB 与时间轴之间的面积。当时
间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线 AB，阶梯状折线与时间轴之间的面
积就趋向于倾斜直线 AB 与时间轴之间的面积。这样，我们就得出结论：匀速直线运动的位
移也可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示。
运用类似的分析方法可以得出，上述结论不仅对匀变速直线运动适用，对一般的变速直
线运动也是适用的。
3. 用极限思想分析问题
在上一章中，我们用极限思想（无限逼近的思想），由平均速度和平均加速度的时间间
隔趋向于 0，介绍了瞬时速度和瞬时加速度；本节课介绍速度图象中图线与时间轴之间四边
形的面积代表匀变速直线运动的位移时，又一次应用了极限思想。极限思想是一种常用的研
究方法，教材渗透这样的思想，只要求我们对极限思想有初步的认识，并不要求会计算极限。
4. 用公式表达匀变速直线运动位移与时间的关系
由上述分析可知，做匀变速直线运动的物体在时间 t 内的位移 x，可以用图 2－21 中梯
形 OABC 的面积 S 表示。而 ，
把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成
，
OCBCOAS ×+= )(
2
1
tvvx )(
2
1
0 +=
O
v
t
图 2－20
A B
C
O
v
t
图 2－21
A
B
C
D

将 代入，可得匀变速直线运动的位移公式
。
图 2－21 中梯形 OABC 的面积 S 也可表示为矩形 AOCD 的面积 S1 和三角形 ABD 的面
积 S2之和，即 S= S1+ S2，而
，
（式中 k 表示直线 AB 的斜率），故
。
把面积、各条线段及斜率 k 换成所代表的物理量，也可得匀变速直线运动的位移公式
。
匀变速直线运动的位移公式反映了位移与初速度、加速度、时间之间的关系，是计算位
移的常用公式。应用此式时，也要注意符号法则，若取初速度的方向为正方向，位移和加速
度都是代数量，都带有符号。
5. 用公式表达匀变速直线运动位移与速度的关系
由匀变速直线运动的速度公式和位移公式
，
消去时间 t，可得 ，
这就是匀变速直线运动的速度—位移关系式。
匀变速直线运动的速度—位移关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系，
在不涉及时间或不需要求时间的情况下，用这个公式分析求解问题通常比较简便。与其他匀
变速直线运动的规律一样，该式在应用时也必须注意符号法则，当取初速度的方向为正方向
时，加速度...