专题一初速为零的匀变速运动的比例式3页

专题一 初速为零的匀变速运动的比例式
设 t =0 开始计时，以 T 为时间单位。则
（1）1T 末、2T 末、3T 末……瞬时速度之比为 v1∶v2∶v3∶…… = 1∶2∶3∶……
可由 ，直接导出
（2）第一个 T 内，第二个 T 内，第三个 T 内……位移之比，sI∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶
5∶……∶（2n－1）
推证：由位移公式 得


可见，sI∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1） 即初速为零的匀加速直线运动，
在连续相等时间内位移的比等于连续奇数的比.
如一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，达顶端时速度为零，历时 3s，位移为 9
m，求其第 1 s 内的位移.
分析：反过来看，物体初速为零，连续相等时间内位移之比为 1∶3∶5，可知，以
某初速上滑时第 1 s 内的位移为总位移的 ，即位移为 5 m.
以上例子还可求出中间时刻的瞬时速度，即整个过程的平均速度 ，
也可求运动的加速度 （取后一段研究），负号表示 a 与 的方
向相反. 当然还可求出初速度 ，由 得
（3）1T 内、2T 内、3T 内……位移之比 s1∶s2∶s3∶……= 12∶22∶32∶……
可由 直接导出
（4）通过连续相同的位移所用时间之比
…… = ……
推 证 ： 由 知 通 过 第 二 段 相 同 位 移 所 用 时 间
同理
则 …… = ……
例 1、一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第 5 s 末的速度是 6 m／s，试求（1）
第 4 s 末的速度；（2）运动后 7 s 内的位移；（3）第 3 s 内的位移
分析：物体的初速度 v0=0，且加速度恒定，可用推论求解.
atvt =
2
2
1
ats = 2
2
1
aTs I =
222
12 2
3
2
1
)2(
2
1
aTaTTasss II =−=−=
222
23 2
5
)2(
2
1
)3(
2
1
aTTaTasss III =−=−=
9
5
sm
t
s
v /3
3
9 ===
21 /2
5.1
30
sm
t
vv
a −=−=
−
=
v
0v atvvt =− 0 smatvv t /63)2(00 =×−−=−=
2
2
1
ats =
321 :: ttt nt :)23(:)12(:1 −− )1(: −− nn
2
2
1
ats =
a
s
t
2
1 =
)12(
2222
2 −=−
×=
a
s
a
s
a
s
t
)23(
22223
3 −=
×−×=
a
s
a
s
a
s
t
321 :: ttt nt :)23(:)12(:1 −− )1(: −− nn

解：（1）因为 所以 ，即 ∝t
故
第 4s 末的速度
（2）前 5 s 的位移

由于 s ∝t 2
所以
故 7 s 内的位移

（3）利用 sI∶sⅢ= 1∶5 知
第 3s 内的位移 sⅢ=5sI=5×0.6 m=3 m
例 2、一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初 3 s 内的位移为 s1 ，最后 3s
内的位移为 s2，已知 s2－s1=6 m；s1∶s2=3∶7，求斜面的总长.
分析：由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为 3s.
解：由题意知
解得 s1=4.5 m s2=10.5 m
由于连续相等时间内位移的比为 l∶3∶5∶……∶（2n－1）
故 sn=（2n－1）sl
可知 10.5 = （2n－1）4.5
解得 n =
又因为 s 总 = n2s1
得斜面总长 s 总 = ×4.5=12.5 m
评注：切忌认为物体沿斜面运动了 6 s，本题中前 3 s 的后一段时间与后 3s 的前一段时
间是重合的。
例 3、一列车由等长的车厢连接而成. 车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一
节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通
过他的时间为 2s，则从第 5 节至第 16 节车厢通过他的时间为多少?
分析：此题若以车为研究对象，由于车不能简化为质点，不便分析，故取车为参考系，
把车的运动转化为人做匀加速直线运动。
解：据通过连续相等的位移所用时间之比为
…… 得
所以所求时间△t=4 s
00 =v atvt = tv
5:4: 54 =vv
smsmvv /8.4/6
5
4
5
4
54 =×==
mtvs 155
2
60
5 =×
+==
22
57 5:7: =ss
mmss 4.2915
25
49
5
7
52
2
7 =×==
6,
7
3
12
2
1 =−= ss
s
s
3
5
2)
3
5
(
:)23(:)12(:1 −− )1( −− nn
2
1
416
1
4514151516
12 =
−
=
−++−+−
=
t

另解：一般解法如下：
设每节车厢长为 s，加速度为 a，则人通过第一节车厢的时间
则人通过前 4 节车厢的时间为
人通过前 16 节车厢的时间为
故所求时间 。
评注：运动学题目的解法多种多样，但总有一些解法比较简单，希望在掌握基本解法的基础
上多考虑一些不同的解题方法。
s
a
s
t 2
2
1 ==
s
a
s
t 4
42
4 =
×=
s
a
s
t 8
162
16 =
×=
sttt 4416 =−=∆