专题二匀变速直线运动的三个推论7页

专题二 匀变速直线运动的三个推论
1. 在连续相等的时间（T）内的位移之差为一恒定值，即△s= aT2（又称匀变速直线运动
的判别式）
推证：设物体以初速 v0、加速度 a 做匀变速直线运动，自计时起时间 T 内的位移
①在第 2 个 T 内的位移 ②
①②两式得连续相等时间内位移差为
即
进一步推证得 ……
2. 某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度
即
推证：由 ① 知经 的瞬时速度 ②
由 ① 得 代 入 ② 中 得 即
3. 某段位移内中间位置的瞬间速度 与这段位移的初、末速度 和 的关系为
推证：由速度位移公式 ①
知 ②
由①得 代入②得
则
讨论：在同一段匀变速直线运动中，对于加速或是减速， 与 有何关系？
分析：若物体做匀加速直线运动，如图甲所示，物体由 A 到 B 历时 t，而经 物体的位
移不到一半，即经 ，物体在中间位置 O 的左侧，所以 。
2
0 2
1
aTTvS I +=
2
0
2
0 2
3
)2(22 aTTvSTaTvS III +=−+⋅=
22
0
2
0 2
1
2
3
aTaTTvaTTvSSS III =−−+=−=∆ 2aTS =∆
=
−
=
−
=
−
=∆= +++
2
3
2
2
2
1
2 32 T
SS
T
SS
T
SS
T
S
a nnnnnn
2
0
2
t
t
vv
vv
+
==
atvvt += 0 2
t
2
0
2
tt avv +=
0vvat t −= 222
)(
2
1 00
000
2
tt
tt
vvvv
vvvvv
+
=−+=−+=
2
vv
v t0
2
t
+
=
2
sv
0v tv
)(
2
1 22
0
2
ts vvv +=
asvvt 2
2
0
2 =−
2
220
2
2
s
avv s •=−
)(
2
1 2
0
2 vvas t −=
)(
2
1
)(
2
1 22
0
2
0
22
0
2
2
tts vvvvvv +=−+=
)(
2
1 22
0
2
ts vvv +=
2
tv
2
sv
2
t
2
t
22
st vv <

若物体做匀减速直线运动，如图乙所示，物体由 A 到 B 历时 t，而经 物体的位移已大
于整个位移的一半，即达到 O 点的右侧，由于是减速，所以 。
综上可知：物体做匀变速直线运动时，某段位移上中间时刻的速度小于中间位置的速度。
另析：由于
则

由于
所以
即
例 1、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是
24m， 64m，每一个时间间隔为 4s，求质点的初速度和加速度。
分析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法
也不同。如：
解法Ⅰ：基本公式法：画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，
故选择位移公式：
将 、 、 代入上式解得：
解法Ⅱ：用平均速度公式：
连续的两段时间 t 内的平均速度分别为：

B 点是 AC 段的中间时刻，则
2
t
22
st vv <
2
0
2
t
t
vv
v
+
= )(
2
1 22
0
2
ts vvv +=
4
2
24
)( 0
22
0
22
0
2
02
2
2
2
tttt
st
vvvvvvvv
vv
+−−
=
+
−
+
=−
)2(
4
1
0
22
0 tt vvvv −+−=
)(02)( 00
22
0
2
0 tttt vvvvvvvv ≠>−+=−
02
2
2
2
<− st vv
22
st vv <
=1s =2s
2
1 2
1
attvs A +=
)at
2
1
tv()t2(a
2
1
)t2(vs 2A
2
A2 +−+=
ms 241 = ms 642 = st 4= smvsma A /1,/5.2
2 ==
smsmtsv /6/4/24/11 === smsmtsv /16/4/64/22 ===
21
BA vvv
+
=
22
CB vvv
+
=
)/(11
2
166
22
21 sm
vvvv
v cAB =
+=
+
=
+
=

得：
解法Ⅲ：用特殊式——判别式解：
由△s= 得
再由 解得
评注：①运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动
学规律，提高灵活运用知识的能力。从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，
从而形成解题能力。②对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先
考虑用判别式△s= 求解。
例 2、某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过 40 km/h，有一辆车遇到情况紧急刹
车后，经时间 停止，量得路面刹车的痕迹长为 s=9m，问这辆车是否违章（刹车后
做匀减速运动）？
分析：本题隐含了末速度为零的条件，求出初速度就可判定。
解：由于车做匀减速直线运动，则平均速度
又因为
所以
解得 v0=12m/s=43.2km/h>40km/h
故可判断此车违章
例 3、从斜面上某一位置，每隔 0.1 s 释放一颗小...