福建省长乐第一中学2014高中数学 第二章《2.1.1.2类比推理》教案 新人教A版选修2-2 5页

"福建省长乐第一中学2014高中数学第二章《2.1.1.2类比推理》教案新人教A版选修2-2"●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。●教具准备：与教材内容相关的资料。●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。●教学过程：学生探究过程：从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？A对象具有属性a、b、c、d；B对象具有属性a、b、c；所以，B对象具有属性d。为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。数学活动我们再看几个类似的推理实例。例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=bÞa+c=b+c;(1)a＞bÞa+c＞b+c;(2)a=bÞac=bc;(2)a＞bÞac＞bc;(3)a=bÞa2=b2;等等。(3)a＞bÞa2＞b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质。等差数列等比数列an-an-1=d(n³2,nÎN)an=a1+(n-1)dan=a1×qn-15 an=(n³2,nÎN)an2=(n³2,nÎN)设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？设问2：如何分析表达式结构特征？设问3：类比对象是什么？三角形与三棱柱。属于平面图形性质与空间图形性质的类比。设问4：类比属性有哪些？如何从几何要素角度进行分析？（板书）：三角形三棱柱面积体积边面线段长面积平面角二面角由此，可类比猜测本题的答案（板书）：设问5：本题中，类比对象各是什么？等差数列与等比数列性质的类比。设问6：类比结论的结构特点是什么？（板书）等差数列a10=0左：前n项和右：前19-n项和2´10-1-n=19-n设问7：项数10、n、19-n之间的关系如何确定？19-n=2´10-1-n等比数列b9=1左：前n项积右：前17-n项积2´9-1-n=17-nb1b2¼bn=b1b2¼b17-n(n<17,nÎN)设问8：如何证明猜想等式成立？常见两种证法：1、等式左右两边分别用通项公式代入，转化为首项和公比的关系；2、不妨设17-n>n,b1b2¼bn=b1b2¼bnbn+1bn+2¼b16-nb17-n由bn+1b17-n=bn+2b16-n=¼=b92=1可得结论成立。设问9：对类比推理有了一定的体验。例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质5 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶检验猜想。即观察、比较联想、类推猜想新结论这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现．例如，数学家波利亚（Polya）曾指出：“类比是一个伟大的引路人面几何中的类比问题．”数学中还有向量与数的类比，求解立体几何问题往往有赖于平无限与有限的类比，不等与相等的类比，等等．(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即a+0=aa1=a运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．例如，在立体几何中，为了研究四面体的性质，我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象，通过类比这个对象的性质，获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路．探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？我们可以从不同角度出发确定类比对象，如围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量5 等．基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象．例如，从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成，它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封闭几何体；在平面内，两条直线不能围成一个封闭的图形，而3条直线可以围成一个三角形，即三角形是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形．从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比对象．下面，我们就来看一个通过类比平面几何中的结论，得到立体图形性质的猜想的例子．例5（课本例3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的个面是四面体，作为直角三角形的类比对象．如图2.1-1所示，与Rt△ABC相对应的，是四面体P-DEF;与Rt△ABC的两条边交成1个直角相对应的，是四面体P-DEF的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与Rt△ABC的直角边边长a,b相对应的，是四面体P-DEF的面△DEF，△FPD和△DPE的面积S1,S2和S3；与Rt△ABC的斜边边长c相对应的，是四面体P-DEF的面△PEF的面积S.由此，我们可以类比Rt△ABC中的勾股定理，猜想出四面体P-DEF四个面的面积之间的关系解：如图2.1-1所示，我们知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得.于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体P-DEF我们猜想.思考：这个结论是正确的吗？请同学们自己．我们把前面所进行的推理过程概括为：可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理（plausiblereasoning）公．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子．例6（课本例4）如图2.1-2所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？分析：我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数．由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次，则数列{}的通项公式为．①通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法．当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：(1)将上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；(2)将第n个金属片从1号针移到3号针；(3)将上面（n-1）个金属片从2号针移到3号针．这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第n个金属片的任务．而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片……如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式5 从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.例如，法国数学家费马观察到=5,=17,=257,=65537都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如.()的数都是质数．这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于计算的欧拉（Euler）发现，第5个费马数=4294967297=641×6700417不是质数，从而推翻了费马的猜想．5