14.2.2 完全平方公式1-人教版数学八年级上册教学资源3页

14．2.2　完全平方公式 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算．(重点) 2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．教师引导学生复习平方差公式． 学生积极举手回答． 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式． 二、合作探究 探究点一：完全平方公式 【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. 解析：直接运用完全平方公式进行计算即可． 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 方法总结：完全平方公式：(ab)2＝a22ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 【类型二】 构造完全平方式 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值． 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝26x5y，∴m＋1＝60，∴m＝59或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 【类型三】 运用完全平方公式进行简便运算 利用乘法公式计算： (1)982－10199； (2)20162－20164030＋20152. 解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果． 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－220162015＋20152＝(2016－2015)2＝1. 方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值 已知x－y＝6，xy＝－8. (1)求x2＋y2的值； (2)求代数式(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值． 解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，将x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化简(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案． 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20； (2)∵(x＋y＋z)2＋(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋[(x－y)2－z2]－xz－yz＝x2＋y2＋z2＋xy＋xz＋yz＋x2＋y2－xy－z2－xz－yz＝x2＋y2，又∵x2＋y2＝20，∴原式＝20. 方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x－y)2＝x2＋y2－2xy，x2＋y2＝(x－y)2＋2xy. 【类型五】 完全平方公式的几何背景 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(　　) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C. 方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 探究点二：添括号后运用完全平方公式 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)． 解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则． 解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc； (2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2. 方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(ab)2的形式．注意a，b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性． 三、板书设计 完全平方公式 1．探究公式：(ab)2＝a22ab＋b2； 2．完全平方公式的几何意义； 3．利用完全平方公式计算． 本节的探讨方式和上节类似，都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式．完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教学中可以将两个公式写作一个公式：(ab)2＝a22ab＋b2，有助于学生的记忆．在探究两数差的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学生自己画图证明．