13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质2-人教版数学八年级上册教学资源5页

第2课时 含30角的直角三角形的性质 教学目标 1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30的性质． 2．有一个角为30的直角三角形的性质的简单应用． 教学重点 含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明． 教学难点 1．含30角的直角三角形性质定理的探索与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ Ⅱ．导入新课 用含30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形． 其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60，所以∠ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形． 图（1）中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30+30=60，所以∠B=∠C=∠BAC=60，即△ABC是等边三角形． 由此能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？你能证明它吗？ 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，∠BAC=30． 求证：BC=AB． 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD． 证明：在△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30，则∠B=60． 延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图） ∵∠ACB=60， ∴∠ACD=90． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC=BD=AB． [例]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30，立柱BD、DE要多长？ 分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB． 解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30，由定理知 BC=AB，DE=AD， 所以BD=7.4=3.7（m）． 又AD=AB， 所以DE=AD=3.7=1.85（m）． 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m． [例]等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15，CD是腰AB上的高． 求：CD的长． 分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=152=30，根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半，可求出CD． 解：∵∠ABC=∠ACB=15， ∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30． ∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）． Ⅲ．随堂练习 1. Rt△ABC中，∠C=90，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 答案：∠B=60，∠A=30，AB=2BC． 2.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90，CD是高，∠A=30． 求证：BD=AB． 证明：在Rt△ABC中，∠A=30， ∴BC=AB． 在Rt△BCD中，∠B=60， ∴∠BCD=30． ∴BD=BC． ∴BD=AB． 2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段． 求证：其中一条是另一条的2倍． 已知：在Rt△ABC中，∠A=90，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线． 求证：CD=2AD． 证明：在Rt△ABC中，∠A=90，∠ABC=2∠C， ∴∠ABC=60，∠C=30． 又∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=30． ∴AD=BD，BD=CD． ∴CD=2AD． Ⅳ．课时小结 这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用． Ⅴ．课后作业 板书设计 含30角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半．