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- 2023-11-17 21:20:02 发布
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广西省桂林市2018-2019学年度上学期期末质量检测高一年级数学（解析版）
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
1. 设全集为R，集合A={x|2≤x<4}，集合B={x|3x-7≥8-2x}．
(1)求A∪B；
(2)若C={x|a-1≤x≤a+3}，A∩C=A，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)集合A={x|2≤x<4}，
集合B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，
∴A∪B={x|x≥2}；
(2)由C={x|a-1≤x≤a+3}，且A∩C=A，
∴A⊆C，
由题意知C≠⌀，
∴a+3≥4a-1≤2，
解得1≤a≤3，
∴实数a的取值范围是1≤a≤3．
【解析】(1)化简集合B，根据并集的定义写出A∪B；
(2)根据A∩C=A知A⊆C，由题意列不等式求出a的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2. 已知函数f(x)=a-1x．
(1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(2)若f(x)在区间[12,4]上取得的最大值为5，求实数a的值．
【答案】解：(1)证明：设x1>x2>0，则：f(x1)-f(x2)=1x2-1x1=x1-x2x1x2；
∵x1>x2>0；
∴x1-x2>0，x1x2>0；
∴x1-x2x1x2>0；
∴f(x1)>f(x2)；
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(2)由(1)知，f(x)在[12,4]上是增函数；
∴f(x)在区间[12,4]上的最大值为f(4)=a-14=5；
∴a=214．
【解析】(1)根据增函数的定义，设任意的x1>x2>0，然后作差，通分，得出f(x1)-f(x2)=x1-x2x1x2，只需证明f(x1)>f(x2)即可；
(2)根据(1)可知，f(x)在区间[12,4]上是增函数，从而得出f(x)在[12,4]上的最大值为f(4)=a-14=5，从而可求出a的值．
考查增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程，根据增函数的定义求函数在闭区间上最值的方法．
3. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，点P为DD1的中点．
(1)求证：直线BD1//平面PAC；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDD1．
【答案】证明：(1)设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO//BD1，
因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
所以直线BD1//平面PAC
(2)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，
底面ABCD是正方形，则AC⊥BD
又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC，
所以AC⊥面BDD1，则平面PAC⊥平面BDD1．
【解析】(1)设AC和BD交于点O，连PO，则PO//BD1，由此能证明直线BD1//平面PAC．
(2)推导出AC⊥BD，DD1⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面BDD1．
本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
4. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
【答案】解：(1)当0<x≤100时，p=60；
当100<x≤600时，
p=60-(x-100)0.02=62-0.02x．
∴p=62-0.02x,100<x≤60060,0<x≤100
(2)设利润为y元，则
当0<x≤100时，y=60x-40x=20x；
当100<x≤600时，y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2．
∴y=22-0.02x2,100<x≤60020x,0<x≤100
当0<x≤100时，y=20x是单调增函数，当x=100时，y最大，此时y=20100=2000；
当100<x≤600时，y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6050，
∴当x=550时，y最大，此时y=6050．
显然6050>2000．
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．
【解析】(1)根据题意，函数为分段函数，当0<x≤100时，p=60；当100<x≤600时，p=60-(x-100)0.02=62-0.02x．
(2)设利润为y元，则当0<x≤100时，y=60x-40x=20x；当100<x≤600时，y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．
本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．
5. 已知函数f(x)=2ax-4+a2ax+a(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的值域；
(Ⅲ)当x∈[1,2]时，2+mf(x)-2x≥0恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2ax-4+a2ax+a(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数，
可得f(0)=0，即2-4+a2+a=0，解得a=2，
即有f(x)=2x-12x+1，由f(-x)+f(x)=2-x-12-x+1+2x-12x+1=1-2x1+2x+2x-12x+1=0，
可得f(x)为R上的奇函数，故a=2；
(Ⅱ)f(x)=2x-12x+1=1-22x+1，在R上递增，
由2x+1>1，可得0<22x+1<2，
即有f(x)的值域为(-1,1)：
(Ⅲ)当x∈[1,2]时，2+mf(x)-2x≥0恒成立，
即为2+m⋅2x-12x+1-2x≥0，
由t=2x-1∈[1,3]，可得m≥(2x+1)(2x-2)2x-1，
由y=(t+2)(t-1)t=t-2t+1在[1,3]递增，
可得y的最大值为3-23+1=103，
可得m≥103．
【解析】(Ⅰ)由奇函数的性质可得f(0)=0，解方程可得a的值，结合奇函数的定义，可得所求值；
(Ⅱ)结合指数函数的值域和不等式的性质，可得所求值域；
(Ⅲ)由题意可得2+m⋅2x-12x+1-2x≥0，由t=2x-1∈[1,3]，可得m≥(2x+1)(2x-2)2x-1恒成立，运用换元法和函数的单调性，求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，注意运用指数函数的单调性和换元法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．