高中数学常用的数学思想之函数与方程8页

三、函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 Ⅰ、再现性题组： 1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞) 2.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。 A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1) 3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。 A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论 4.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tgθ的值是_____。 A. － B. － C. D. 5.已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。 6.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。 7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45，则此棱锥的侧面积为___________。 8. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。 【简解】1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C； 2小题：函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A； 3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B； 4小题：设tg＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A； 5小题：利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0； 6小题：设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]； 7小题：设高h，由体积解出h＝2，答案：24； 8小题：设长x，则宽，造价y＝4120＋4x80＋80≥1760，答案：1760。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 设a>0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考) 【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。 【解】 将原方程化为：log(x－ak)＝log， 等价于 （a>0,a≠1） ∴ k＝－ ( ||>1 ）, 设＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ| 当θ∈(－,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg<－1，故k<－1； 当θ∈(0, )时，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故0<k<1； 综上所述，k的取值范围是：k<－1或0<k<1。 y C C -ak -a a x 【注】 求参数的范围，分离参数后变成函数值域的问题，观察所求函数式，引入新的变量，转化为三角函数的值域问题，在进行三角换元时，要注意新的变量的范围。一般地，此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题。本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法。 另一种解题思路是采取“数形结合法”： 将原方程化为：log(x－ak)＝log，等价于x－ak＝ (x－ak>0)，设曲线C：y＝x－ak，曲线C：y＝ (y>0)，如图所示。 由图可知，当－ak>a或－a<－ak<0时曲线C与C有交点，即方程有实解。所以k的取值范围是：k<－1或0<k<1。 还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等价变形为后，解得：，所以>ak，即－k>0，通分得<0，解得k<－1或0<k<1。所以k的取值范围是：k<－1或0<k<1。 例2. 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。 【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。 【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则 解得x∈（,） 【注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。 例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。 ①.求公差d的取值范围； ②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考) 【分析】 ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。 【解】① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以 S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0， S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。 解得：－<d<－3。 ② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d ＝[n－(5－)]－[(5－)] 因为d<0，故[n－(5－)]最小时，S最大。由－<d<－3得6<(5－)<6.5，故正整数n＝6时[n－(5－)]最小，所以S最大。 【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。 本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。 例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。 【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 P M A H B D C 【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H， 设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。 ∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ ＝(sinθ＋1)[x－]＋ 即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。 【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。 例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgAtgC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。 【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。 【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60； 由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgAtgBtgC，得 tgA＋tgC＝tgB(tgAtgC－1)＝ (1＋) 设tgA、tgC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋ 设A<C，则tgA＝1，tgC＝2＋， ∴A＝，C＝ 由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。 【注】本题的解答关键是利用“△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgAtgBtgC”这一条性质得到tgA＋tgC，从而设立方程求出tgA和tgC的值，使问题得到解决。 例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。 【分析】 观察题设，发现正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。 【证明】 当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列； 当x≠y时，设方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。 ∴tt＝＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差数列 【注】一般地，题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了“x＋x＝a、xx＝b”的形式，则可以利用根与系数的关系构造方程；如果具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可以利用根的判别式构造一元二次方程。这种方法使得非方程问题用方程思想来解决，体现了一定的技巧性，也是解题基本方法中的一种“构造法”。 例7. △ABC中，求证：cosAcosBcosC≤ 。 【分析】考虑首先使用三角公式进行变形，结合三角形中有关的性质和定理，主要是运用“三角形的内角和为180”。变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法解决。 【证明】 设k＝cosAcosBcosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]cosC＝[－cosC＋cos(A－B)]cosC 整理得：cosC－cos(A－B)cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。 ∴ △＝cos(A－B)－8k≥0 即 8k≤cos(A－B)≤1 ∴ k≤即cosAcosBcosC≤ 【注】本题原本是三角问题，引入参数后，通过三角变形，发现了其等式具有“二次”特点，于是联想了一元二次方程，将问题变成代数中的方程有实解的问题，这既是“方程思想”，也体现了“判别式法”、“参数法”。 此题的另外一种思路是使用“放缩法”,在放缩过程中也体现了“配方法”，具体解答过程是：cosAcosBcosC＝[cos(A＋B)＋cos(A－B)]cosC ＝－cosC＋cos(A－B)cosC＝－ [cosC－]＋cos(A－B)≤cos(A－B) ≤。 例8. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。 【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 【解】 由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立， 即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－ ∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－ 所以a的取值范围是a>－。 【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行