高二数学精品教案：2.1 1 随机变量（选修2-3）31页

随机变量及其分布§2.1随机变量一、概念对于随机试验：E甲,乙两人同时向某目标射击一次中靶情况E:，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。二、分类1、离散型随机变量2、非离散型随机变量§2.2离散型随机变量一.离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:取这些值的概率为P(X=i)=pi,i=1,2,...(2.1)称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下: X……P……上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质（1）pi0,i=1,2,...（2）常见的几种分布1、单点分布例:若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）2、0-1分布例:若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为X01Pqp00，则称X服从参数为l的泊松分布,记为。2．泊松Poisson定理P41,设有一列二项分布X～B(),n=1,2,...,如果,为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有证略。例5:P43.例6:P44,自学。§2.3随机变量的分布函数一、概念定义2.1设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数,令 (2.11)则称F（）为X的分布函数。例1:（书上例2.8）设X服从参数为p的（0-1）分布，即：,=0,1,其中00,且很小时，有 P(0.1}指数分布： 例：(第一版)设R.V.(1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F();(3)P。例：(第一版)已知随机变量（1）确定A和B；（2）求；(3)求二、均匀分布例：设R.V.，称X在[,b] 上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(a0)=data;Prob=1-PROBNORM((0-1.5)/2);Putprob=;Run;Prob=0.773372647P(-14)解：请大家通过变换后查表得出结果。并与下面的结果进行对比。data;prob=probnorm((1.6-1)/2);putprob=;prob=probnorm((1.6-1)/2)-probnorm((0-1)/2);putprob=;prob=1-probnorm((4-1)/2)+probnorm((-4-1)/2);putprob=;run;P(x£1.6)=0.6179114222P(04)=0.0730168666例3P56将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少解：(1)data;prob=probnorm((89-90)/0.5);putprob=;run; P(X<89)=0.0227501319(2)要求0.99P{X>80}即P{X<80}0.01P{(X-d)/0.5<(80-d)/0.5}0.01(80-d)/0.5-2.326347874data;Z=probit(.010);putZ=;run;Z=-2.326347874定义：设X~N(0,1)，若满足条件,则称点为标准正态分布的上分位点。书上57页图例： 下分位数：data;Z1=probit(.001);putZ1=;Z2=probit(.0025);putZ2=;Z3=probit(.005);putZ3=;Z4=probit(.010);putZ4=;run;Z1=-3.090232306()Z2=-2.807033768()Z3=-2.575829304()Z4=-2.326347874()上分位数：data;Z1=probit(1-.001);putZ1=;Z2=probit(1-.0025);putZ2=;Z3=probit(1-.005);putZ3=;Z4=probit(1-.010);putZ4=;run; Z1=3.0902323062Z2=2.8070337683Z3=2.5758293035[来源:数理化网]Z4=2.326347874本人不同意分为上下分位数，分位数就是分位数，定义为：若满足条件,则称点为随机变量的分位数。单边的,双边的，注意和以均值为中心，1,2,3倍标准差宽度区间的概率值的区别。SAS的两种计算公式：data;p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1);putp1=;p2=PROBNORM(2)-PROBNORM(-2);putp2=;p3=PROBNORM(3)-PROBNORM(-3);putp3=;run; p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039[来源:www.shulihua.net]data;p1=2*PROBNORM(1)-1;putp1=;p2=2*PROBNORM(2)-1;putp2=;p3=2*PROBNORM(3)-1;putp3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039也可以验证数据，即以为中心，需要几倍的标准差距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。Data;q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));putq1=;q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));putq2=;q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));putq3=;run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959data;q1=probit(1-(1-0.6826894921)/2);putq1=;q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2);putq2=;q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);putq3=; run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959注意：为中心，概率为90%,95%，98%，99%的区间，需要几倍的标准差距离。Data;q1=abs(probit((1-0.9)/2));putq1=;q2=abs(probit((1-0.95)/2));putq2=;q3=abs(probit((1-0.98)/2));putq3=;q3=abs(probit((1-0.99)/2));putq3=;run;q1=1.644853627q2=1.9599639845q3=2.326347874q3=2.5758293035比如，=0.95等的结论也是常用的。几乎都成常识了。[来源:www.shulihua.net]以下例1---4为第一版内容。例1：X服从N(1,4),求P(x£1.6),P(14) 例2：将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器中。调节器定在doc，液体的温度为X(以co记)服从N(d,0.52)。（1）若d=90,求P(X<89)=?；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少例：（书上例2.14）某市高校高等数学统考，假定考生成绩X～。现已知80分以上者占总人数的33%,40分以下者占总人数的8%,求考生的及格率（即60分以上者占总人数的百分比）。例3：（书上例2.15）一桥长60cm,以桥的中心为原点，沿着桥的方向引入坐标轴如书上图2-10。一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥，假定弹着点的坐标X～N.(1)求投掷一枚炸弹，命中此桥的概率p；(2)问独立重复投掷多少枚炸弹，才能使至少有一弹命中此桥的概率大于0.9。例4：(书上例2.16)甲,乙,丙三个工厂生产同一种产品且产量相等。它们的产品每件某种物质的含量（单位：mg）分别为，且,,.（1）今从三个厂的产品中任取一件，求这件产品某种物质的含量大于55mg的概率。（2）今从三个厂的产品中独立地任取两件，求这两件产品某种物质地含量都不大于55mg的概率。§2.5随机变量函数的分布一、若X是离散型随机变量X…… ……P……例1P58，已知X分布列为X-1012P0.20.30.10.4求Y=(X-1)2的分布列解：Y的所有可能取的值为0，1，4.例1(第一版)已知X分布列为X-2–1012P1/61/41/61/41/6求Y=(1/2)X2的分布列解：Y的所有可能取的值为：0，1/2,2练习。。二、X是连续型随机变量1．当是单调函数例2，P58页： 例3，P59定理若连续型随机变量X只在上取值，它的概率密度为，又是严格单调的可导函数，则是连续型随机变量，其概率密度为其中是的反函数，是的值域。[来源:数理化网]例1(第一版)，第二版，P60例4，设R.V.X~N(),求的概率密度（是常数）法一、用公式~是单调函数，可直接用公式。的反函数为， ~,可知~。法二、直接法，见书P-57~58（第一版）。答案同上。小结：正态分布R.V的线性函数仍是正态R.V。例5，P61。。。例2（第一版）假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：在区间[0，1]上服从均匀分布。[来源:数理化网]法一、公式法；法二、直接法。2、当是非单调函数（第一版）例1：X服从N(0,1)，求Y=X2的概率密度。例2：已知连续型随机变量X的概率密度为求的概率密度。 本章习题：1，3，4，5，18，19，23，25，26，27，29，30.www.shulihua.netw。w-w*k&s%5￥uwww.shulihua.netw。w-w*k&s%5￥u