4.3.3 余角和补角1-人教版数学七年级上册教学资源3页

4．3.3　余角和补角 1．在具体情境中认识余角和补角，掌握余角和补角的性质；(重点) 2．能利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理．(重点)　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔． 比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工．设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜． 二、合作探究 探究点一：余角和补角及其性质 【类型一】 余角和补角的概念 如果α与β互为余角，则(　　) A．α＋β＝180 B．α－β＝180 C．α－β＝90 D．α＋β＝90 解析：如果α与β互为余角，则α＋β＝90.故选D. 方法总结：正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键． 【类型二】 利用余角和补角计算求值 已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30，求∠B的度数． 解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30，从而得到∠A＝3∠B＋30，再把两个算式联立即可求出∠2的值． 解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90，又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30，∴∠A＝3∠B＋30，∴3∠B＋30＋∠B＝90，解得∠B＝15.故∠B的度数为15. 方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决． 【类型三】 余角、补角和角平分线的综合计算 如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数． 解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180，根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB，根据解方程，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案． 解：由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB＋∠COM＝180. 由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180，∠AOB＋∠BOM＝90. 由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM＝∠AOB， 即∠AOB＋∠AOB＝90.解得∠AOB＝60. 由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90＋60＝150. 由ON平分∠AOC得∠AON＝∠AOC＝150＝75.由角的和差，得∠BON＝∠AON－∠AOB＝75－60＝15. 方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合． 探究点二：方位角 【类型一】 利用方位角确定方向 M地是海上观测站，从M地发现两艘船A、B的方位如图所示，下列说法中正确的是(　　) A．船A在M的南偏东30方向 B．船A在M的南偏西30方向 C．船B在M的北偏东40方向 D．船B在M的北偏东50方向 解析：船A在M的南偏西90－30＝60方向，故A、B选项错误；船B在M的北偏东90－50＝40方向，故C正确，D错误．故选C. 方法总结：用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 【类型二】 方位角的有关计算 如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A、B、C处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44方向，乙船位于港口的北偏东76方向，丙船位于港口的北偏西45方向． (1)求∠BOC的度数； (2)求∠AOB的度数． 解析：(1)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC的度数，根据角的和差，可得答案； (2)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA的度数，根据角的和差，可得答案． 解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东76方向，丙船位于港口的北偏西45方向，得∠EOB＝76，∠EOC＝45.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76＋45＝121； (2)由甲船位于港口的北偏东44方向，乙船位于港口的北偏东76方向，得∠EOB＝76，∠EOA＝44.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76－44＝32. 方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算． 三、板书设计 1．互余、互补 (1)和为90的两个角互余； (2)和为180的两个角互补． 2．方位角 通过比萨斜塔这一学生熟知的著名建筑激发学生的学习兴趣，再运用现代化的教学手段，把图形的“静”变成“动”，在动态课件演示中引出概念，增强了趣味性，并且可以充分调动学生的学习兴趣，一下子把学生吸引到课堂上来．这样也把书本上原本呆板的概念激活了，使数学知识充满新鲜感，实现了书本知识和学生发现的一种沟通，增强学生对几何图形的敏感性．