长春市高中毕业班第一次调研测试理科数学试题参考答案与评分标准x12页

2014年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）题号123456789101112答案BBADCDADBDCC1.【试题答案】【试题解析】由复数虚部定义：复数的虚部为，得的虚部为，故选.2.【试题答案】【试题解析】因为，，所以，故选.3.【试题答案】【试题解析】化简，∴将选项代入验证，当时，取得最值，故选.4.【试题答案】【试题解析】由抛物线标准方程中的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又，故选.5.【试题答案】【试题解析】，设公比为，又，则，即，解得或，故选.6.【试题答案】【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数一模数学试题答案（理科）第12页共12页 ，所以，，，故选.OA1第7题图7.【试题答案】【试题解析】由，得,则表示该组平行直线在轴的截距。又由约束条件作出可行域如图，先画出，经平移至经过和的交点时，取得最大值，代入，即，所以，故选.8.【试题答案】【试题解析】A选项，直线可能在平面内；B选项，如果直线不在平面内，不能得到；C选项，直线与可能平行，可能异面，还可能相交；故选.9.【试题答案】【试题解析】由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，故选.一模数学试题答案（理科）第12页共12页 10.【试题答案】【试题解析】由三视图可知，该几何体为一个球体，下半球完整，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积应为球的表面积，去掉球的表面积，再加上个圆面积，故，又球半径，，故选.11.【试题答案】【试题解析】不等式表示的平面区域如图所示，函数具有性质，则函数图像必须完全分布在阴影区域①和②部分，分布在区域①和③内，分布在区域②和④内，图像第11题图分布在区域①和②内，在每个区域都有图像，故选12.【试题答案】【试题解析】验证，易知时，；时，所以在上恒成立，故在上是增函数，又，∴只有一个零点，记为，则.同理可证明也只有一个零点，记为，且.故一模数学试题答案（理科）第12页共12页 有个不同零点，,即将向左平移个单位，即将向右平移个单位，∴，，又函数的零点均在区间内，且，故当，时，即的最小值为，故选第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13.【试题答案】【试题解析】.14.【试题答案】【试题解析】设球半径，上下底面中心设为，，由题意，外接球心为的中点，设为，则，由，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以该三棱柱的体积为.15.【试题答案】【试题解析】设圆与圆交于,，则直线的方程为：，化简得：又圆平分圆的周长，则直线过,代入的方程得：,一模数学试题答案（理科）第12页共12页 ∴.16.【试题答案】③【试题解析】，，则，故①错。，∴，故②错。在是单调递增的周函数，知，故，故③正确，易知④错。综上，正确序号为③。三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.【试题解析】（1）设等差数列的公差为，则，又，则，故.……………………………………………6分（2）由（1）可得，又，即，化简得，解得或（舍），所以的值为4.……………………………………12分18.【试题解析】（1）…………4分一模数学试题答案（理科）第12页共12页 因为，所以最小正周期.……………………6分（2）由（1）知，当时，.由正弦函数图象可知，当时，取得最大值，又为锐角所以.……………………8分由余弦定理得，所以或经检验均符合题意.……………………10分从而当时，△的面积；……………11分.……………………12分19.【试题解析】（1）连结交于，∵四边形为正方形，第19题图（1）∴，∵正方形与矩形所在平面互相垂直，交线为，，∴平面，又平面∴，又，∴平面，又平面，∴.……………………………………………6分一模数学试题答案（理科）第12页共12页 第19题图（2）（2）存在满足条件的.【解法一】假设存在满足条件的点，过点作于点，连结，则，所以为二面角的平面角，……………………9分所以，在中，所以，又在中，，所以，∴，在中，，∴．故在线段上存在一点，使得二面角为，且.………………………………………12分【解法二】依题意，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，所以，.易知为平面的法向量，设，所以,设平面的法向量为，所以，即，一模数学试题答案（理科）第12页共12页 第19题图2所以，取，则，又二面角的大小为，所以，即，解得.又因为，所以.故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.……………………………………………12分20.【试题解析】（1）设半焦距为.由题意的中垂线方程分别为，于是圆心坐标为.所以，整理得，……………………………………………4分即，所以，于是，即.所以，即.……………………………………………6分一模数学试题答案（理科）第12页共12页 （2）当时，，此时椭圆的方程为，设，则，所以.…………………8分当时，上式的最小值为，即，得；…………10分当时，上式的最小值为，即，解得，不合题意，舍去.综上所述，椭圆的方程为.……………………………………12分21.【试题解析】（1）由题意，其定义域为，则，2分对于，有.①当时，，∴的单调增区间为；②当时，的两根为，∴的单调增区间为和，的单调减区间为.综上：当时，的单调增区间为；一模数学试题答案（理科）第12页共12页 当时，的单调增区间为和，的单调减区间为.………6分（2）对，其定义域为.求导得，，由题两根分别为，，则有，，………8分∴，从而有，……10分.当时，，∴在上单调递减，又，∴.………………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【试题解析】(1)由题意知，与圆和圆相切，切点分别为和，由切割线定理有：所以，即为的中点.…5分(2)由为圆的直径，易得，∴，∴∴.………10分23.【试题解析】一模数学试题答案（理科）第12页共12页 （1）直线的参数方程，即（为参数）由题知点的直角坐标为，圆半径为，∴圆方程为将代入得圆极坐标方程………5分（2）由题意得，直线的普通方程为，圆心到的距离为，∴直线与圆相离.………10分24.【试题解析】（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，.………5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即.………10分一模数学试题答案（理科）第12页共12页 一模数学试题答案（理科）第12页共12页