2011届高三第三轮复习单元过关检测题---数学思想方法专题含详细答案4页

2011届高三第三轮复习单元过关检测题---数学思想方法专题一、选择题1．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么A．x＋y<0B．x＋y>0C．xy<0D．xy>0解析：设f(x)＝2x－3－x．因为2x，－3－x均为R上的增函数，所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函数．又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，即f(x)>f(－y)，∴x>－y，即x＋y>0．选B．答案：B2．设函数f(x)＝x3＋sinx，若0≤θ≤时，f(mcosθ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是A．(0,1)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．解析：易知f(x)为奇函数、增函数，f(mcosθ)＋f(1－m)>0，即f(mcosθ)>f(m－1)，∴mcosθ>m－1，而0≤θ≤时，cosθ∈[0,1]，∴得m<1．答案：C3．方程x2－x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是A．m≤－B．－1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴11且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．解析：由f1(x)＝f(x)和fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1且n∈N*)，得f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，f3(x)＝f2[f2(x)]＝＝，…，由此猜想fn(x)＝(n∈N*)．答案：，8．若方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)只有一个根，则a的取值范围是________．解析：原方程等价于即，构造函数y＝－x2＋5x－3(1时，原方程无解．因此，a 的取值范围是14x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围为________．解析：∵x2＋px>4x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0．令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要，∴x>3或x<－1．答案：x>3或x<－1三、解答题11．若函数f(x)＝a＋bcosx＋csinx的图象经过点(0,1)和，且当x∈[0，]时，－2≤f(x)≤2恒成立，试求a的取值范围．解：∵f(x)过(0,1)和，∴f(0)＝a＋b＝1，f＝a＋c＝1，即b＝c＝1－a．∴f(x)＝a＋(1－a)(cosx＋sinx)＝a＋(1－a)sin．∵x∈，∴≤x＋≤π．∴≤sin≤1．f(x)的取值范围与1－a的正负有关系，从而讨论如下：①当a≤1时，1≤f(x)≤a＋(1－a)．∵－2≤f(x)≤2，∴只要a＋(1－a)≤2，解得a≥－，∴－≤a≤1．②当a>1时，a＋(1－a)≤f(x)≤1，∵－2≤f(x)≤2，只要a＋(1－a)≥－2，解得a≤4＋3．∴10)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．解：(1)由题意知f(1)＝－3－c，因此b－c＝－3－c，从而b＝－3．又对f(x)求导得f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．由题意f′(1)＝0，因此a＋4b＝0，解得a＝12．(2)由(1)知f′(x)＝48x3lnx(x>0)，令f′(x)＝0，解得x＝1．当01时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．因此f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． (3)由(2)知，f(x)在x＝1处取得极小值．f(1)＝－3－c，此极小值也是最小值．要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2．即2c2－c－3≥0，从而(2c－3)(c＋1)≥0，解得c≥或c≤－1．所以c的取值范围为(－∞，－1]∪．13．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m．(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16．当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t．综上，h(t)＝(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数Φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵Φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，∴Φ′(x)＝2x－8＋＝＝(x>0)．当x∈(0,1)时，Φ′(x)>0，Φ(x)是增函数；当x∈(1,3)时，Φ′(x)<0，Φ(x)是减函数；当x∈(3，＋∞)时，Φ′(x)>0，Φ(x)是增函数；当x＝1或x＝3时，Φ′(x)＝0．∴Φ(x)极大值＝Φ(1)＝m－7，Φ(x)极小值＝Φ(3)＝m＋6ln3－15．∵当x充分接近0时，Φ(x)<0，当x充分大时，Φ(x)>0∴要使Φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即7